Сторінка
1

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для функції однієї та двох змінних

План

• Основні теореми диференціального числення
• Теорема Ролля
• Теорема Лагранжа
• Теорема Коші
• Правило Лопіталя
• Формула Тейлора для многочлена
• Формула Тейлора для довільної функції
• Формула Тейлора для функції двох змінних

6.12. Основні теореми диференціального числення

У курсі математичного аналізу одне з центральних місць займають так звані теореми про середнє значення, до яких належать теореми Ролля, Лагранжа і Коші. В цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

6.12. 1. Теорема Ролля

Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку :

2) диференційована в інтервалі ;

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .

Д о в е д е н н я.

Випадок 1. Функція на відрізку є сталою:

.

Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива.

Випадок 2. Функція не є тотожною сталою на відрізку . Оскільки за умовою теореми не є неперервною, то вона на відрізку набуває найбільшого і найменшого значень. Позначимо найбільше значення через , а найменше – через . Зрозуміло, що в розглянутому випадку .

Через те, що , то хоча б одне з чисел або досягається функцією всередині інтервалу . Нехай, наприклад, число досягається функцією всередині інтервалу , тобто існує хоча б одна точка, позначимо її , в якій

.

Покажемо, що .

Справді, оскільки є найменше значення функції на відрізку , то це число буде найменшим і серед значень функції, які вона набуває для всіх з деякого досить малого околу точки . Позначимо цей окіл через .

Тоді для всіх справджуватимуться нерівності

при ,

при .

Розглянемо відношення , для якого справедливі нерівності

при ,

при ,

причому .

Перейдемо в цих нерівностях до границі, коли . Тоді границя відношення, яке стоїть в лівій частині нерівностей, існує і дорівнює похідній , тому

, .