Сторінка
37

Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах

– Пригадаємо аксіоми планіметрії, скориставшись для цього таблицею.

– Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з по­гляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.

Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.

– Через які поняття воно означається?

Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.

– Виділимо основні поняття, відношення та величини.

Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.

– Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.

1. Перелічуються первісні (неозначувані) поняття.

2. Формулюються аксіоми про властивості первісних понять.

3. За допомогою первісних та раніше означених понять фор­мулюються означення нових понять.

4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводяться нові твердження.

ІІ. Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них.

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

- точка: А, В, С, .

- пряма: а, в, с, .

- площина: , ., (АВС).

Термін „стереометрія” походить від гр. – об'ємний, просторовий і – вимірюю. Оскільки пло­щина – нова найпростіша фігура, то треба сформулювати аксіо­ми, що виражають властивості площини. Розглянемо три аксіоми стереометрії, зведені в одну таблицю.

Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і систе­ма аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планімет­рії і трьох аксіом групи С.

У планіметрії ми мали одну площину, на якій розташовувались всі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом планіметрії в якості аксіом стереометрії вимагають уточнення. Це стосується аксіом IV, VII, VIII, IX.

IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

VII. Від півпрямої на площині, що її містить, у задану півплощину можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180○, і лише один.

VIII. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у даній площині у заданому розташуванні відносно даної півпрямої у цій площині.

ІХ. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: пряма а, точка В а.

Довести: 1) існує {а, В};

2) єдина.

Доведення

1) Виберемо на прямій а довільну точку А. Проведемо пряму в {А;В} (аксіома І). а і в різні, оскільки В а. За аксіомою С3: а і в визначають площину .

У ході доведення вчитель разом з учнями шляхом системи запитань складає таблицю.

– Яка аксіома стереометрії обґрунтовує можливість проведення площини?

– На яку додаткову побудову наштовхує нас ця аксіома?

– Яка аксіома обґрунтовує можливість проведення прямої?

– Через які точки проведемо ще одну пряму?

– Яка аксіома обґрунтовує можливість вибору точки А?

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через а і точкуВ. За аксіомою С2: точка В належить прямій а. Це суперечить умові, що В а. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються

(немає спільних точок) перетинаються