Сторінка
1

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

План

• Ознаки порівняння рядів з додатними членами
• Ознака Даламбера
• Радикальна ознака Коші
• Інтегральна ознака Коші

13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами

Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Нехай задані два ряди з додатними членами

(13.4)

(13.5)

Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).

Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) – збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через і . Оскільки

,

то, очевидно,

Ряд (13.5) – збігається, тому існує границя його частинної суми

Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що і тоді в силу нерівності

Отже, частинні суми послідовності обмежені. Крім того, послідовність монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при

Отже, ряд (13.4) збігається.

2) Нехай ряд (13.4) – розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.

Приклад.1 Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к. Ряд знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:

і ряд збігається ( тут ), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.

Зауваження. Теорема має місце і у випадку, коли нерівності виконуються, починаючи з деякого

Відкинувши перших членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.

Теорема 2. Якщо існує границя

(13.6)

то із збіжності ряду (13.5), при випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) – розбіжність ряду (13.5) при

Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і Взявши довільне як завгодно мале число за визначенням границі, для

достатньо великих будемо мати

, звідки

Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд одержаний множенням його членів на постійний множник Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).

Якщо ряд (13.5) розбігається і то в цьому випадку обернене відношення має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.

Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду

Р о з в ‘ я з о к. Нехай а Ряд збігається.Оскільки

то із збіжності ряду випливає збіжність і ряду

13.4. Ознака Даламбера

Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення го члена до го при має (скінчену) границю тобто