Сторінка
2

Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші

(13.7)

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх буде виконуватися нерівність

(13.8)

Дійсно, оскільки величина прямує до границі то , починаючи з деякого номера різниця між величиною і числом може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто

Звідси і випливає нерівність (13.8).

Запишемо нерівність (13.8) для різних значень починаючи з номера :

. (13.9)

Розглянемо тепер два ряди:

,

.

Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником , тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з , менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд - збігається, а це і є ряд (13.4).

2) Нехай Тоді з рівності (13.7) випливає (при ) , що, починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність

,

або Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера , а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.

Зауваження 1. Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли Це випливає з того, що починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність , або .

Зауваження 2. Якщо , то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому – розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.

Зауваження 3. Якщо , але відношення для всіх номерів , починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.

Це випливає з того, що при буде виконуватися нерівність , і загальний член не прямує до нуля при

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

.

Р о з в ‘ я з о к. Використаємо ознаку Даламбера : ,

і

, тому ряд розбігається.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .

Р о з в ‘ я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо

<1; отже, даний ряд збігається.

13.5. Радикальна ознака Коші

Теорема. Якщо для ряду з додатними членами (13.4) величина

, (13.10)

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо число , що задовольняє умові Починаючи з , будемо мати