Сторінка
2

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці

Можливі такі випадки.

1. Корені характеристичного рівняння - дійсні й різні числа. Позначимо їх через . Для кожного кореня запишемо систему (12.65) і розв’яжемо її (можна довести, що одне з чисел можна вибрати довільним відмінним від нуля , а інші будуть через нього однозначно виражені).

Отже кореню відповідають розв’язки

кореню - розв’язки

кореню - розв’язки

Тоді загальний розв’язок системи рівнянь (12.60) записується як лінійна комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:

;

За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді

=

або

(12.67)

де

називається фундаментальною матрицею системи (12.60).

Фундаментальна матриця задовольняє матричне рівняння Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.

Приклад 5 . Розв’язати систему

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння (12.66)

або

Розв’язки цього рівняння Система (12.65) при

Друге рівняння цієї системи є наслідком першого . Покладемо, наприклад, Тоді маємо Тому

Система (12.65) у разі, коли набуває вигляду

Ця система зводиться до одного рівняння. Поклавши, наприклад, дістанемо Запишемо розв’язки, що відповідають другому кореню

Тоді загальний розв’язок системи має вигляд

2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.

Нехай парі комплексних спряжених коренів відповідають розв’язки

,…,

та

причому коефіцієнти та визначаються із системи рівнянь(12.65). Можна довести , що дійсні й уявні частини цих розв’язків також є розв’язками системи рівнянь. Записавши окремо дійсні й уявні частини даних виразів (в двох рядках), використовуємо їх для запису загального розв’язку системи аналогічно тому, як це було зроблено вище (складаємо лінійну комбінацію з коефіцієнтами по стовпчиках). Зауважимо, що вирази () комплексно спряжені відносно функцій ( ); їх можна не виписувати.