Сторінка
3

Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння

або Його корені

При відносно та отримаємо систему

Один з її ненульових розв’язків

При розв’язок комплексно спряжений відносно знайденого.

Тому систему при можна не розглядати. Знайдемо розв’язки вигляду ()

,

Виконуємо елементарні перетворення:

(формула Ейлера).

Дійсні частини розв’язків а уявні частини - Отже , загальним розв’язком системи буде

3. Корінь характеристичного рівняння має кратність .

Тоді:

а) якщо ранг системи (12.65) такий, що то розв’язуємо цю систему й знаходимо лінійно незалежних розв’язків; кожному такому розв’язкові відповідає стрічка розв’язків вихідної системи, аналогічно тому, як це було зроблено в п.1;

б) якщо то функції …., слід шукати у виглядів добутків виду де многочлен з невизначеними коефіцієнтами, порядок якого дорівнює Щоб знайти ці коефіцієнти, розв’язки підставляють у вихідну систему. Зауважимо , що невизначені коефіцієнти будуть знаходитися з системи алгебраїчних рівнянь, у якій рівно змінних вільні , а інші змінні через них виражаються.

Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь

Р о з в ‘ я з о к. Як звичайно, функції та шукаємо у вигляді :

Характеристичне рівняння системи

або

Розклавши вираз зліва на множники, отримаємо Отже, простий корінь, а кратний корінь , причому

При система (12.65) матиме вигляд

Ранг цієї системи дорівнює двом, а тому зведемо її до такої рівносильної системи

Поклавши, знайдемо: Отже, кореню відповідають розв’язки

При () ранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:

Отже , і (маємо випадок 3а). Система (12.65) зводиться до одного рівняння або (вільні змінні ).

Щоб знайти лінійно незалежні розв’язки, покладемо спочатку Тоді Далі покладемо Тоді Це дозволяє записати ще два рядки розв’язків: і