Сторінка
1

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

План

• Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
• Характеристичне рівняння
• Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

(12.38)

де і - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).

Справді, запишемо та :

Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо

Оскільки маємо

(12.39)

Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

1) і - дійсні, причому не рівні між собою числа ;

2) і - комплексні числа ();

3) і - дійсні рівні числа

Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.

1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:

Відповідні частинні розв’язки та

лінійно незалежні, бо

Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд

(12.40)

де і - довільні сталі.

2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки і є комплексними функціями дійсного аргументу:

або

Неважко переконатися, що функція та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то та також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

Зауважимо, що розв’язки та лінійно незалежні:

Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

(12.41)

де і - довільні сталі.

3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні: При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1): Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді де - невідома функція. Знайдемо і :