Сторінка
2

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла

Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює

(11.4)

Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією , що задана в трьохвимірному просторі .

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:

Отже,

(11.5)

До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1) ми визначали для дуже простої множини – відрізку який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі, кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі вимірної міри цих частин.

1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

Поняття про міру Жордана 1). В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1) якщо прямокутник з основою і висотою то

2) якщо і мають міри то

3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини і то

Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.

В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.

Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.

Для трьохвимірних обмежених областей з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число , що задовольняє таким властивостям:

1) якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами то

2) якщо і мають міри то

3) якщо область розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини і то

1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

Нехай в вимірному просторі задана обмежена область з кусково-гладкою границею і на(або на ) задана функція Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці і складемо суму