Сторінка
4

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла

Із нерівностей (12.11) випливає

тобто число знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції В силу зв’язності існує неперервна крива, що належить ,

і яка з’єднує точки і тобто така крива, що

Функція

неперервна на відрізку (як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення .

Але тоді за теоремою про проміжне значення функції однієї змінної, існує таке , що в точці має місце рівність

що й доводить теорему.

1) Множина називається зв’язною, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить

Зауваження. Число називається середнім значенням неперервної функції в області .

Теорема існування. Якщо функція неперервна в замкнутій обмеженій області з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на так само, як і на і

(11.15)