Сторінка
1

Відповідності, функції, відображення

1. Відповідності та композиції відповідностей

1. Визначити R(a), R-1(b), R(X), R-1(Y), де

1) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=1, b=2, X={2, 3}, Y={2, 3};

2) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=2, b=1, X={1, 3}, Y={1, 3};

3) R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=1, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};

4) R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};

5) R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=1, b=1, X={2, 3}, Y={2, 3};

6) R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=2, b=3, X={1, 3}, Y={1, 2};

7) R={(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};

8) R={(1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}, a=3, b=2, X={1, 2}, Y={1, 3};

9) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}, a=2, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};

2. Побудувати композицію RoP відповідностей R і P, де RÍA´B, PÍB´C:

1) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1), (z,2)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,6), (3,7)};

2) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (y,1), (z,2)}, P={(1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (3,7)};

3) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (z,3)}, P={(1,5), (1,6), (1,7), (2,6), (2,7)};

4) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (y,3), (z,2)}, P={(1,7), (2,5), (2,6), (3,5), (3,7)};

5) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (z,2), (z,3)}, P={(1,5), (1,6), (2,7), (3,6), (3,7)};

6) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (y,3)}, P={(1,6), (1,7), (2,5), (3,6), (3,7)};

7) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (z,1), (z,3)}, P={(2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6)};

8) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,2), (z,3)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,7)};

9) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1)}, P={(1,5), (1,6), (2,5), (3,6), (3,7)};

3. Довести, що:

dRoP=R-1(rRÇdP);

rRoP=P(rRÇdP).

4. Нехай RÍA´A. Довести, що R=iA тоді й тільки тоді, коли RoR1=R1oR=R1 при будь-якому R1ÍA´A.

5. Довести, що за довільних відповідностей R, P, Q:

1) Ro(PoQ)=(RoP)oQ;

2) (RoP)-1=P-1oR-1;

3) (RÈP)oQ=RoQÈPoQ;

4) Qo(RÈP)=QoRÈQoP;

5) (RÇP)oQÍRoQÇPoQ;

6) Qo(RÇP)ÍQoRÇQoP;

Для завдань (5)–(6) навести приклад R, P, Q, таких, що включення не можна замінити рівністю.

2. Функції та відображення

6. Указати, чи має властивості ін'єктивності, сюр'єктивності та чи є відображенням функція f:R®R, де R – множина дійсних чисел, а f(x) – це:

1) x;

2) x-1;

3) x2;

4) x2/3;

5) x3/4;

6) xp;

7) ex;

8) log x;

9) |x|;

10) sin x;

11) cos x;

12) tg x;

13) ctg x;

14) arcsin x;

15) arccos x;

16) arctg x;

17) arcctg x.

3.7. Довести, що:

1) об'єднання

2) перетин

двох функцій f1 і f2 з A в B є функцією тоді й тільки тоді, коли f1=f2.

7. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області означення, справджується:

1) f(AÈB)=f(A)Èf(B);

2) f(AÇB)Íf(A)Çf(B);

3) f(A)\f(B)Íf(A\B);

4) f(A)Df(B)Íf(ADB).

Для завдань (2)–(4) навести приклади f, A, B, таких, що включення не можна замінити рівністю.

8. Довести, що f є 1-1-функцією тоді й тільки тоді, коли при будь-яких підмножинах A і B області означення функції:

1) f(AÇB)=f(A)Çf(B);

2) f(A)\f(B)=f(A\B);

3) f(A)Df(B)=f(ADB).

9. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області значень, справджується:

1) f-1(AÈB)=f-1(A)Èf-1(B);

2) f-1(AÇB)=f-1(A)Çf-1(B);

3) f-1(A)\f-1(B)=f-1(A\B);

4) f-1(A)Df-1(B)=f-1(ADB).

10. Довести, що при AÍdf, BÍrf справджується:

1) AÍf-1(f(A));

2) BÍf(f-1(B));

3) f(A)ÇB=f(AÇf-1(B));

4) f(A)ÇB=Æ « AÇf-1(B)=Æ;

5) f(A)ÍB « AÍf-1(B);

3. Бієкції

11. Означити бієкцію між множинами:

1) An і A{1, 2, …, n};

2) AB і CD, де A бієктивно відображається на C, а B – на D;

3) A´B і B´A;

4) (A´B)´C і A´(B´C);

5) (A´B)C і AC´BC;

6) (AB)C і AB´C;

7) ABÈC і AB´AC, якщо BÇC=Æ.

12. Нехай f:A®A – підстановка множини A. Довести, що f-1 – також підстановка множини A.

3.13. Нехай f:A®B – бієкція. Довести, що:

1) f-1 – бієкція;

2) f-1of=iB;

3) fof-1=iA.

4. Характеристичні функції

14. Нехай U – непорожня множина. Для будь-якої її підмножини A означимо функцію cU,A, що називається характеристичною функцією множини A:

cU,A(x)=

Неважко переконатися, що підмножини множини U та їхні характеристичні функції взаємно однозначно відповідають одне одному. Довести, що при будь-якому xÎU:

1) cU,U(x)=0;

2) cU,Æ(x)=1;

3) cU,U\A(x)=1–cU,A(x);

4) cU,AÈB(x)=cU,A(x)×cU,B(x);

5) cU,AÇB(x)=cU,A(x)+cU,B(x)–cU,A(x)×cU,B(x);

6) cU,A\B(x)=1–cU,B(x)+cU,AÈB(x);

7) cU,AÈB(x)=min{cU,A(x), cU,B(x)};

8) cU,AÇB(x)=max{cU,A(x), cU,B(x)};

9) cU,ADB(x)=min{1–cU,B(x)+cU,AÈB(x), 1–cU,A(x)+cU,AÈB(x)}.

Характеристичну функцію множини A можна означити інакше:

cU,A(x)=

За такого означення довести, що при будь-якому xÎU:

10) cU,U(x)=1;

11) cU,Æ(x)=0;

12) cU,U\A(x)=1–cU,A(x);

13) cU,AÈB(x)=cU,A(x)+cU,B(x)–cU,A(x)×cU,B(x);

14) cU,AÇB(x)=cU,A(x)×cU,B(x);

15) cU,A\B(x)=cU,A(x)(1–cU,B(x));

16) cU,AÈB(x)=max{cU,A(x), cU,B(x)};

17) cU,AÇB(x)=min{cU,A(x), cU,B(x)};

18) cU,ADB(x)=max{cU,A(x)(1–cU,B(x)), cU,B(x)(1–cU,A(x))}.