Сторінка
1

Лінійні неоднорідні системи

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

чи у векторно-матричному вигляді

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор є

розв’язком лінійної неоднорідної системи, a розв’язком відповідної лінійної однорідної системи, то сума - є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

Дійсно, за умовою

і .

Але тоді і

тобто є розв’язком неоднорідної системи.

Властивість 2 (Принцип суперпозиції). Якщо вектори ,є розв’язками лінійних неоднорідних систем

, ,

де , то вектор , де - довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

.

Дійсно, за умовою виконуються - тотожностей

.

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

,

тобто лінійна комбінаціябуде розв’язком системи

.

Властивість 3. Якщо комплексний вектор з дійсними елементамиє розв’язком неоднорідної системи , де , , , то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно, за умовою

.

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

.

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи). Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідної системи.

Доведення. Нехай- загальний розв’язок однорідної системи і - частинний розв’язок неоднорідної. Тоді, як випливає з властивості 1, їхня сума буде розв’язком неоднорідної системи.

Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто підбором сталих , можна розв’язати довільну задачу Коші

.

Оскільки- загальний розв’язок однорідного рівняння, то вектори лінійно незалежні і система алгебраїчних рівнянь

має єдине розв’язок ,. І лінійна комбінація с отриманими сталими , є розв’язком поставленої задачі Коші.

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації довільних сталих

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який називається методом варіації довільної сталої.