Сторінка
7

Поняття множини. Змінні та постійні величини

4) то функція називається не зростаючою на проміжку

Зростаючі, неспадні, спадні та незростаючі функції називаються монотонними.

Приклад.

1.

Якщо то тому функція є зростаючою в інтервалі

2. . Якщо то Тому функція є спадна в інтервалі .

Парні та непарні функції. Нехай функція задана на проміжку , який є симетричним відносно початку координат. Це може бути:

Функція на проміжку називається:

1) парною, якщо справджується рівність

2) непарною, якщо справджується рівність

Зауваження. Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Періодичні функції. Функція ,

називається періодичною, якщо існує число , таке, що справджується рівність

.

Число при цьому називається періодом функції .

5.3. Поняття неявної, складної та оберненої функції

5.3.1. Неявна функція

Функція від аргументу називається неявною, якщо вона задана рівнянням

(5.1)

Можливі випадки:

1) рівняння (5.1) не задовольняється жодною парою чисел

, тому вона не задає ніякої функції;

2) рівняння (5.1) задовольняється лише однією парою чисел

(), тому воно не задає ніякої залежності;

3) рівняння (5.1) задовольняється різними парами чисел

, тому воно задає змінну як функцію від : .

Множина значень , для кожного з яких , є областю визначення неявної функції . Наприклад, рівняння задає двозначну функцію :

; .

Нехай тепер маємо рівняння

, (5.2)

що зв’язує значення трьох змінних. Розглянемо множину тих пар чисел , для яких існує значення , що разом з і рівняння (5.2) перетворює на тотожність.

Якщо кожній парі чисел із вказаної множини поставити у відповідність значення , одержимо однозначну або багатозначну функцію двох змінних: , яку будемо називати неявно заданою рівнянням (5.2) або неявною функцією.

Розглянемо рівняння , яке зв’язує значення змінних, за аналогією із викладеним, можна ввести

поняття неявної функції від змінної.

5.3.2. Складна функція

Розглянемо спочатку функції однієї змінної.

Нехай задані дві функції і , при цьому множина значень першої функції входить в область означення другої. Тоді кожному значенню із області визначення функції відповідає певне значення змінної , а значенню функція ставить у відповідність певне значення змінної , тобто змінна є функцією : .