Сторінка
2

Поняття множини. Змінні та постійні величини

2. Множина дійсних чисел

Множина дійсних чисел складається з раціональних та ірраціональних чисел.

Цілі та дробові числа як додатні, так і від’ємні, а також число нуль називаються раціональними числами. Кожне раціональне число можна зобразити у вигляді нескоротного дробу (- будь-які

натуральні числа, Числа, виражені нескінченними

неперіодичними десятковими дробами, називаються ірраціональними: сукупність раціональних та ірраціональних чисел – множиною дійсних чисел.

Основні властивості множини дійсних чисел відомі із шкільного курсу математики. Зупинимось докладніше на понятті абсолютної величини (модуля) дійсного числа.

Означення.Модулем дійсного числа називається число, якщо і протилежне йому число якщо

Модуль числа позначається символом і за означенням

З геометричної точки зору модуль числа означає відстань від точки числової осі з абсцисою до точки відліку 0. На основі геометричного змісту модуля дійсного числа можна довести такі властивості:

1)

2) якщо то

3) якщо то або або

Сформулюємо ряд теорем, що виражають властивості модуля дійсного числа.

Теорема 1. Модуль суми скінченого числа дійсних чисел не перевищує суми модулів цих чисел:

Теорема 2.Модуль різниці не менший за різницю модулів зменшуваного і від’ємника, тобто

Теорема 3.Модуль добутку скінченого числа співмножників дорівнює добутку модулів цих співмножників:

Теорема 4.Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:

якщо

3. Найпростіші множини дійсних чисел

Дамо означення найпростіших числових множин.

Між множиною дійсних чисел і множиною точок числової осі існує взаємно однозначна відповідність. Тому в математичному аналізі часто користуються множинами точок, розміщених на числовій осі.

10. Множина всіх дійсних чисел (всіх точок числової осі), які задовольняють нерівності

де і - довільні точки числової осі. Таку множину називають відрізком, або сегментом, і позначають символом

Часто замість нерівностей пишуть і читають :

“належить відрізку ”. Точку при цьому називають лівим, а точку - правим кінцем відрізка

20. Множина всіх дійсних чисел (всіх точок числової осі), які задовольняють нерівності

Таку множину називають проміжком, або інтервалом, і позначають символом Точки і при цьому називають відповідно лівим і правим кінцем інтервалу. Замість нерівностей пишуть і читають :”належить інтервалу ”.

Інтервал відрізняється від відрізка тим, що кінці інтервалу не належать. Число називається довжиною як відрізкатак і інтервалу

30. Множина точок числової осі, які задовольняють нерівності:

Такі множини точок називаються відповідно півінтервалом і піввідрізком і позначають

Зауважимо, що інтервали, півінтервали і піввідрізки можуть