Сторінка
1

Власні числа і власні вектори квадратної матриці, характеристичне рівняння

План

• Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.
• Характеристичне рівняння.
• Властивості власних векторів і власних значень.

4.3.4. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

Означення. Ненульовий вектор який задовольняє умові

, (4.17)

називається власним вектором лінійного перетворення а число власним значенням. Говорять, що власний вектор відповідає власному значенню

Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру

Якщо в просторі вибраний базис, то рівність (4.17) можна записати в координатах як що зв’зує матрицю перетворення і координатний стовпчик вектора або

(4.18)

де одинична матриця В розгорнутому вигляді (4.18) можна записати так:

(4.18/)

Із рівності (4.18/) знаходимо координати власного вектора Це система лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Оскільки власний вектор ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (4.18/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

(4.19)

Рівняння (4.19) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.

Знайшовши із рівняння (4.19) всі власні значення , ми кожне із них підставляємо в систему (4.18/) і знаходимо власні вектори , що відповідають цим власним значенням.

Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення що задається в деякому базисі матрицею

Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (4.19)

, тоді і власні значення матриці Нехай власний вектор, що відповідає власному значенню Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (4.18/)

загальний розв’язок якої буде

Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи і одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню

і причому

Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.

10. Власні вектори , що відповідають попарно різним власним значенням , лінійно незалежні.

20. Якщо і матриці лінійного перетворення в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто

30. Якщо деяке власне значення перетворення є коренем характеристичного рівняння кратності то йому відповідає не більше лінійно незалежних власних векторів.