Сторінка
4
При сусідня точка кривої намагається співпасти з точкою і січна годографа в границі переходить в дотичну до нього. Тому вектор направлений по дотичній до годографа в бік зростання параметра .
Якщо використати розклад (7.20) вектора за ортами, то вектор можна записати у вигляді
,
де
,
.
Звідси, поділивши на і перейшовши до границі при , знаходимо для похідної вектора такий вираз:
. (7.24)
Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:
; (7.25)
; (7.26)
; (7.27)
. (7.28)
Тут - векторні функції; - скалярна функція аргументу .
Зауваження. Розглянемо випадок змінного вектора , довжина якого стала: .
Остання рівність дозволяє записати:
,
де - скалярний квадрат вектора .
Диференціюванням знаходимо
.
Отже, вектор в цьому випадку перпендикулярний до вектора .
Зокрема, якщо , то .
3. Кривизна просторової кривої
Зміна напрямку одиничного вектора дотичної до просторової кривої (вектора ) пов’язана із зміною напрямку дотичної до просторової кривої і характеризує кривизну кривої. За міру кривизни приймемо границю відношення кута суміжності (кута повороту дотичної ) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:
, (7.29)
де - кривизна, - кут суміжності, - довжина дуги. З іншого боку, оскільки - одиничний вектор, то перпендикулярний до нього. Модуль вектора пов’язаний з обертанням вектора формулою
. (7.30)
. (7.31)
Величина, обернена до кривизни, називається радіусом кривизни лінії в даній точці і позначається через тобто
Вектор назвемо вектором кривизни просторової кривої, його напрямок, перпендикулярний до напрямку дотичної, є напрямком нормалі до просторової кривої. Але просторова крива має в кожній точці не одну, а нескінченну множину нормалей, які всі лежать в площині, що проходить через дану точку кривої і перпендикулярну до дотичної до кривої. Цю площину назвемо нормальною площиною просторової кривої. Та із нормалей кривої, по якій напрямлений вектор кривизни кривої в даній точці, називається головною нормаллю просторової кривої. Отже, введений нами вектор - одиничний вектор головної нормалі.
Інші реферати на тему «Математика»:
Побудова множинних фільтрів для лінійних алгебраїчних систем
Лінійні неоднорідні системи
Основні означення та факти з теорії визначників
Власні числа і власні вектори квадратної матриці, характеристичне рівняння
Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних