Сторінка
4

Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої

При сусідня точка кривої намагається співпасти з точкою і січна годографа в границі переходить в дотичну до нього. Тому вектор направлений по дотичній до годографа в бік зростання параметра .

Якщо використати розклад (7.20) вектора за ортами, то вектор можна записати у вигляді

,

де

,

.

Звідси, поділивши на і перейшовши до границі при , знаходимо для похідної вектора такий вираз:

. (7.24)

Із означення похідної від векторної функції (7.23) можна вивести, що правила диференціального числення відносно диференціювання суми і добутку залишаються в силі як для сум векторних функцій, так і для добутків будь-якого вигляду. Мають місце такі формули:

; (7.25)

; (7.26)

; (7.27)

. (7.28)

Тут - векторні функції; - скалярна функція аргументу .

Зауваження. Розглянемо випадок змінного вектора , довжина якого стала: .

Остання рівність дозволяє записати:

,

де - скалярний квадрат вектора .

Диференціюванням знаходимо

.

Отже, вектор в цьому випадку перпендикулярний до вектора .

Зокрема, якщо , то .

3. Кривизна просторової кривої

Зміна напрямку одиничного вектора дотичної до просторової кривої (вектора ) пов’язана із зміною напрямку дотичної до просторової кривої і характеризує кривизну кривої. За міру кривизни приймемо границю відношення кута суміжності (кута повороту дотичної ) до довжини відповідної дуги, коли остання прямує до нуля:

, (7.29)

де - кривизна, - кут суміжності, - довжина дуги. З іншого боку, оскільки - одиничний вектор, то перпендикулярний до нього. Модуль вектора пов’язаний з обертанням вектора формулою

. (7.30)

. (7.31)

Величина, обернена до кривизни, називається радіусом кривизни лінії в даній точці і позначається через тобто

Вектор назвемо вектором кривизни просторової кривої, його напрямок, перпендикулярний до напрямку дотичної, є напрямком нормалі до просторової кривої. Але просторова крива має в кожній точці не одну, а нескінченну множину нормалей, які всі лежать в площині, що проходить через дану точку кривої і перпендикулярну до дотичної до кривої. Цю площину назвемо нормальною площиною просторової кривої. Та із нормалей кривої, по якій напрямлений вектор кривизни кривої в даній точці, називається головною нормаллю просторової кривої. Отже, введений нами вектор - одиничний вектор головної нормалі.