Сторінка
5

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції

Припустимо, що це рівняння визначає єдину і при цьому диференційовану функцію аргументу . Для цього повинні виконуватись певні умови, доведення яких опускається.

Теорема. (теорема існування неявної функції). Нехай:

1) функція означена і неперервна разом із своїми частинними похідними та в деякому околі точки ;

2) в точці дорівнює нулю:

;

3) в точці відмінна від нуля: .

Тоді

1) в деякому прямокутнику

рівняння визначає як однозначну функцію від : ;

2) при ця функція набуває значення :

;

3) на інтервалі функція неперервна і має неперервну похідну.

Знайдемо цю похідну. Оскільки у вказаному інтервалі , то для будь-якої її точки або, що те саме, , де .

Обчислюючи повну похідну, маємо

,

звідки

. (6.61)

Приклад. Знайти похідну функції .

Р о з в ’ я з о к.

.

Нехай задано рівняння

(6.62)

і при цьому виконуються умови, аналогічні умовам 1) - 3). Можна

довести, що рівняння (6.62) визначає в деякому околі точки площини єдину і питому диференційовану функцію , яка набуває значення при , .

Частинні похідні такої функції обчислюються за формулами:

; . (6.63)

Розглянемо деякі застосування теорії неявних функцій. Нехай плоска крива задана рівнянням в точці записується у вигляді

. (6.64)

Рівняння нормалі до кривої в точці записується у вигляді

. (6.65)

Нехай поверхня задана рівнянням . Візьмемо в ній точку .

Рівняння дотичної площини до поверхні в точці записується у вигляді

(6.66)

Рівняння нормалі до тієї самої поверхні в точці має вигляд

. (6.67)

Приклади.

1. Знайти рівняння дотичної і нормалі до еліпса в точці .

Р о з в ’ я з о к. Тут ; ; функції, неперервні скрізь.

Оскільки , крива має в цій точці дотичну і нормаль. Їх рівняння:

дотичної ;

нормалі .

2. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці .

Р о з в ’ я з о к. Тут ; ;