Сторінка
1

Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції

План

• Диференціал функції.
• Геометричний зміст диференціала.
• Лінеаризація функції.
• Диференціал складної функції.
• Повний диференціал функції декількох змінних.
• Достатні умови диференційованості функції.
• Рівняння дотичної площини до поверхні і нормалі.
• Інваріантність форми диференціала.
• Диференціювання функцій, заданих параметрично.
• Неявні функції, їх диференціювання.

1. Диференціал функції

1.1 Означення диференційованої функції

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.48)

де - число, а прямує до нуля, коли приріст прямує до нуля.

Означення. Функція називається диференційованою в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна зобразити в такому вигляді:

(6.49) де

- числа; і - нескінченно малі при (при ).

Теорема. Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність (6.48) має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній:

(6.50)

Наслідок. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.

Дійсно, із (6.50) зрозуміло, що з умови випливає .

Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.

Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.

Теорема (достатня умова диференційованості). Якщо функція має частинні похідні за змінними і якщо ці частинні похідні неперервні в цій самій точці , то функція диференційована в цій точці.

Зауваження. Функція (всякого числа змінних), диференційована в кожній точці деякої області, називається диференційованою в цій області.

1.2 Диференціал

Диференціал функції однієї змінної . Зазначимо, що доданки в рівності (6.50) відіграють неоднакову роль. Так, другий додаток при є величина вищого порядку малості, ніж ,

тоді як перший доданок , якщо і , є величина одного порядку малості з . Крім того, другий доданок в рівності (6.50) при і є величина вищого порядку малості, ніж перший,

Отже, перший доданок в рівності (6.50) є головною частиною приросту функції.

Означення. Добуток називається диференціалом функції в точці і позначається символом або ,

, . (6.51)

Диференціалом аргументу називається його приріст, тобто вважають . Тоді формула для диференціала функції набирає вигляду

,

або

(6.52)

Користуючись співвідношенням (6.52), складемо таблицю для диференціалів від елементарних функцій:

1. , .