Сторінка
4

Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури

Рис.10.12

Момент інерції всього круга буде дорівнювати сумі моментів інерції всіх кілець і наближено становитиме Перейшовши до границі при одержимо момент інерції круга відносно центра:

Оскільки отримаємо

(10.24)

Очевидно, що момент інерції круглого циліндра, радіус основи якого і маса , відносно його осі виражається формулою (10.24).

1.4. Обчислення роботи

Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої під дією сили причому сила співпадає з напрямком руху. Потрібно знайти роботу, що виконує сила при переміщенні точки У випадку, коли сила постійна за величиною на всьому шляху, то робота, яку виконує ця сила дорівнює добутку сили на переміщення.

Припустимо, що сила ( величина її) неперервно змінюється в залежності від положення матеріальної точки, тобто

Приклад 1. Резервуар, що має форму півсфери радіуса наповнений водою (рис.10.13). Яку роботу необхідно виконати, щоб викачати з нього воду?

Виділимо на деякій висоті елементарний об’єм. Об’єм виділеного елемента - це об’єм циліндра, висота якого а в основі коло радіуса , тобто Для знаходження запишемо рівняння сфери В горизонтальному перетині утворюється коло звідки

Тоді

Рис.10.13

Висота, на яку необхідно підняти елементарний об’єм рідини, дорівнює Тоді

Інтегруючи останню рівність, одержимо

Приклад 2. Знайти денний виробіток за робочий день тривалістю 8 годин, якщо продуктивність праці на протязі дня змінюється за емпіричною формулою

де час (год), розмірність продуктивності (одиниця продукції/год), розмірність часу (год). Ця формула дійсно відображає реальний процес роботи (рис.10.14): продуктивність спочатку росте, досягаючи максимуму в середині робочого дня при год, а потім падає.

Р о з в ‘ я з о к. Вважаючи, що продуктивність змінюється на протязі дня неперервно, денний виробіток можна виразити означеним інтегралом:

де множник, що має розмірність одиниці продукції.

Рис. 10.14

Якщо би на протязі всього дня робота велася ритмічно і з максимальною продуктивністю то денний виробіток складав би або приблизно на 21% більше. Рисунок 10.14 ілюструє розв’язок задачі: денний виробіток чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривою друга крива показує ріст випуску продукції з часом (графік первісної відповідає правій осі ординат ). Значення год відповідає точці перегину кривої в першій половині робочого дня інтенсивність виробітку продукції вища, ніж у другій. Штрихпунктирна пряма відповідає випуску продукції з рівномірною продуктивністю