Сторінка
3

Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст

2. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної

1. Нехай функція задана на деякому інтервалі . Візьмемо довільну точку і надамо довільного приросту (число може бути як додатнім, так і від’ємним), але такого, щоб точки і належали інтервалу . Обчислимо в точці приріст функції :

.

Означення. Якщо існує границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що прямує до нуля, тобто

,

то ця границя називається похідною від функції в точці

. (6.11)

Для похідної застосовують і такі позначення: або (Лейбніц); або (Коші). У подальшому користуванні позначенням(6.11), яке вперше запропонував французький математик Лагранж.

Якщо функція має похідну в кожній внутрішній точці проміжку , то похідну позначатимемо або, що те саме, .

Таким чином, якщо - фіксована точка проміжку , то похідна , якщо вона існує, є число. Якщо похідна існує в кожній точці , то є функція від .

2. Легко з’ясувати механічний зміст похідної, а саме величина швидкості в даний момент часу дорівнює похідній від пройденого шляху по часу , тобто , або, якщо , то .

3. Геометричний зміст похідної. Нехай і - координати точки, взяті на кривій, яку задано рівнянням . Тоді похідна дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до кривої в точці з координатами .

4. Правило знаходження похідної. Щоб знайти похідну від функції у точці , треба:

1) значенню надати довільного приросту , тобто ввести до розгляду точку ;

2) знайти приріст функції у точці ;

3) знайти відношення

;

4) знайти границю відношення

.

Якщо ця границя існує то вона й дорівнює похідній .

Зауважимо, що коли похідну треба знайти у будь-якій точці , то правило залишається те саме, тільки замість всюди ставимо .

3. Частинні похідні та їх геометричний зміст

1. Нехай в деякій області задано функцію .

Розглянемо відношення частинного приросту

функції по змінній до приросту цієї змінної