Сторінка
4

Неперервність функції в точці і в області.Дії над неперервними функціями

Означення. Функція називається неперервною в точці зліва (справа), якщо виконуються умови:

1) визначена в точці (існує число );

2) в точці існує лівостороння (правостороння) границя функції;

3) лівостороння (правостороння) границя функції дорівнює значенню функції в точці , або

,

.

Очевидно, коли функція неперервна в точці, то вона в цій точці є неперервна і зліва, і справа. Має місце така теорема.

Теорема. Для того, щоб функція була неперервна в даній точці, необхідно і достатньо, щоб вона була в цій точці неперервна справа і зліва.

Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку , крім, можливо, внутрішньої точки .

Означення. Якщо функція в точці не є неперервною, то точка називається точкою розриву функції , а саме функція при цьому називається розривною в точці .

Отже, за означенням, будь-яка внутрішня точка проміжку , де визначена функція , є точкою розриву функції, якщо в цій точці порушується хоча б одна з трьох умов неперервності. Тому залежно від того, яка з цих умов не виконується, точки розриву поділяють на два роди.

Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують скінченні лівостороння і правостороння границі.

Якщо границі рівні між собою, то точка називається точкою усувного розриву.

Якщо границі скінченні, але не рівні, то точка називається точкою розриву типу “ стрибка “.

Означення. Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь або дорівнює безмежності.

Приклади.

1. .

Функція визначена на всій числовій осі, за винятком точки . Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі в цій точці:

Отже, одна функція в точці має розрив першого роду.

2.

Функція означена при всіх значеннях , крім . Односторонні границі:

Отже, точка є точкою розриву другого роду.

3.

В точці функція не визначена, але вона має

скінчену границю в цій точці: . Це є усувний розрив, тому що функція

неперервна в точці .

2. Властивості функцій,

неперервних у замкнених областях

Ці властивості сформулюємо як теореми і дамо деякі пояснення, ілюструючи їх для функції , неперервної на відрізку .

Теорема. Якщо функція означена і неперервна в обмеженій замкнутій області , то функція обмежена, тобто існує число таке, що для всіх точок області .

Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , приймає в цій області своє найбільше і найменше значення, тобто

.

Смисл цієї теореми для функції , неперервної на відрізку , наочно ілюструється на рис. 5.2.

Теорема. Функція , неперервна в обмеженій замкнутій області , між будь-якими двома своїми значеннями приймає всі проміжні значення, тобто, якщо , де і - якість значення функції в області , то в цій області є точка , в якій .