Сторінка
7

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь

Знайдемо

.

Отже, функції і на нескінченності однакового порядку малості.

3. Нехай ,

і .

Знайдемо

.

Отже, функції і при нескінченно малі однакового порядку малості.

Означення 2. Якщо

,

то називається нескінченно малою вищого порядку малості, ніж . При цьому - нескінченно мала нижчого порядку малості, ніж .

Приклади.

1. Нехай . Тоді і в

точці є нескінченно малі функції. Знайдемо

Отже, в цьому випадку є нескінченно мала вищого порядку, ніж .

2. , , і - нескінченно малі при. Знайдемо

Отже, при є нескінченно мала вищого порядку, ніж .

Означення 3. Якщо

,

то називається нескінченно малою більш нижчого порядку малості, ніж .

Приклад.

Нехай , . При і - нескінченно малі. Знайдемо

Отже, при є нескінченно малою нижчого

порядку малості, ніж .

Означення 4. Якщо границі відношення і не існує (ні скінчена, ні нескінченна), то і називаються не порівнювальними нескінченно малими.

Означення 5. Якщо

,

то і в точці називаються еквівалентними, і записуються : ~ .

Приклади.

1. Нехай , . Тоді і в точці є нескінченно малі. Оскільки (доведення буде дано в наступній темі), то і є еквівалентні величини, тобто ~ .

2. Довести, що в точці :