Сторінка
2

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь

Приклад .Якщо взяти то дістанемо незростаючу послідовність.

Для дальшого вивчення числових послідовностей слід ввести поняття обмежених і необмежених послідовностей.

Означення . Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує дійсне число таке, що для всякого виконується нерівність .

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує дійсне число таке, що для всіх виконується нерівність

Приклади .

1. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену зверху , оскільки

2. Якщо взяти дістанемо послідовність обмежену знизу, оскільки

Означення .Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена і зверху, і знизу, у противному разі – необмеженою.

Приклади .

1. Нехай Послідовність

є обмежена

Послідовність не є обмежена .

Наведемо ще такі формулювання означення обмежених та необмежених послідовностей .

Послідовність називається обмеженою, якщо для всіх

Покладемо Послідовність називається обмеженою, якщо

Послідовність називається необмеженою, якщо

Приклади .

1. Нехай Тоді Отже, послідовність є обмежена.

2. Розглянемо послідовність Тут Яке б число ми не взяли, знайдеться таке натуральне число, наприклад , коли Отже, задана послідовність не є обмежена .

Зауваження. Обмежена послідовність не є обов’язково монотонною, і навпаки, не всяка монотонна послідовність є обмежена. Так, послідовність є обмежена , але не є монотонна; послідовність є монотонна, але не є обмежена; послідовність є і необмежена, і немонотонна; послідовність є обмежена і монотонна.

2. Границя числової послідовності

Дамо означення границі послідовності та розглянемо геометричну ілюстрацію цього поняття.

Означення . Стале число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа існує таке натуральне число що для всіх виконується нерівність