Сторінка
3

Числові послідовності. Границя, основні властивості границь

(5.2)

Той факт, що є границею послідовності символічно

записується так:

або при

Іншими словами, число називається границею послідовності якщо . (5.3)

Приклад.Довести, що Знайти номер такий, коли при

Р о з в ’ я з о к.Згідно з означенням границі треба показати, що

(5.4)

Для виконання нерівності (5.4) треба , щоб

або .

Отже, існує число ,а саме коли при виконується нерівність(5.4). Тому Знайдемо залежно від конкретно заданого . Нехай тоді

Тому нерівність

справедлива для всіх

Розглянемо геометричну ілюстрацію того факту, коли є

границею числової послідовності . Візьмемо на числовій осі точку з абсцисою і відкладатимемо точки з абсцисами

Тоді нерівність (5.3) означає, що відстань між точкою при і точкою повинна бути меншою за . Отже, всі члени послідовності починаючи з повинні знаходитися в інтервалі Інтервал є - околом точки .

Якщо число є границею послідовності , то всі члени цієї послідовності, номери яких знаходяться у довільному - околі точки. Що стосується членів послідовності номери яких то про їх розміщення на числовій осі нічого не можна сказати, вони можуть знаходитися як всередині - околу точки, так і поза ним. Проте у всякому разі поза довільним - околом точки може бути розміщене тільки скінчене число членів послідовності.

3. Властивості збіжних числових послідовностей

Введемо поняття збіжних послідовностей та подамо ряд їх властивостей, які будемо формулювати у вигляді теорем.

Означення . Числова послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі, - розбіжною.

Теорема 1. Послідовність може мати тільки одну границю.

Теорема 2.Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Зауваження .Оберненого твердження цієї теореми не існує.

Так, послідовність є обмежена, але вона не має границі.

Теорема 3.Якщо і то й члени послідовності починаючи з певного номера і для всіх наступних номерів, будуть більші за (менші за ).