Сторінка
1

Практичне використання математичних методів моделювання складних економічних систем

Монотонним ланцюжком називається монотонно неспадна траєкторія кусково-лінійного процесу.

На рис. 1 в інтервалі зображено перший монотонний ланцюжок, а в інтервалі - другий монотонний ланцюжок.

При моделюванні об’єктів з рідкісними подіями відповідні їм траєкторії випадкового процесу є, як правило, немонотонними (ймовірність появи монотонного ланцюжка – мала величина, близька до нуля). Тому при побудові монотонних ланцюжків застосовують прийом умовних функцій розподілу мінімуму.

Нехай маємо кусково-лінійний процес :

,

де - незалежні кусково-лінійні процеси

,

- час перебування процесу в стані .

Позначимо через випадковий вектор

,

а через - вектор , для якого виконується умова

.

Це означає, що в момент рівно випадкових процесів з множин знаходяться в стані 1, а решта – в стані 0. Сукупність векторів утворюють множину особливих станів. Ставиться задача знаходження ймовірності попадання процесу в множину за час .

Якщо - мала величина, то користування при моделюванні функціонування систем індикаторним підходом є недоцільним, оскільки серед величезного числа траєкторій з’являється лише невелике число траєкторій, що попадають в множину .

Суть методу монотонних ланцюжків стосовно розв’язання поставленої задачі заключається в слідуючому. Спочатку будується траєкторія процесу безпосереднім чином (тобто без використання умовних функцій розподілу мінімуму). Для конкретності, і без позбавлення загальності, можна припустити, що реалізувалась -та траєкторія, зображена на рис. 2. Це означає, що за час траєкторія не попала в множину , тобто , а .

Тоді в інтервалах неперервності з допомогою умовних функцій розподілу мінімуму будуються монотонні ланцюжки , відповідно (див. рис. 3). Позначимо ймовірність появи 1-го ланцюжка через , і розглянемо дві протилежні події :

для яких виконуються співвідношення

.

Враховуючи це, ймовірність попадання в інтервалі в множину можна визначити за формулою

, (1)

де - ймовірність попадання траєкторії в інтервалі в множину безпосереднім чином (тобто без використання якого-небудь методу):

Припустимо, що . Тоді не було б сенсу будувати монотонний ланцюжок і знаходити ймовірність , що видно з (1):

.