Сторінка
2

Практичне використання математичних методів моделювання складних економічних систем

Тому цікавим є випадок, коли . Дійсно, оскільки траєкторія , не попала в множину , то в інтервалі розглядається ланцюжок і відповідна йому ймовірність

,

де - дві протилежні випадкові події:

,

,

Через вказані ймовірності має вигляд:

, (2)

Підставимо (2) в (1) так:

. (3)

В цьому співвідношенні - ймовірність попадання траєкторії в інтервалі в множину безпосереднім чином:

Якщо виникло таке попадання, то (3) набуває вигляду:

.

і на цьому моделювання траєкторії припиняється. Припустимо (і це видно з рис. 2), що виконується умова

.

Тоді ймовірність має вигляд:

, (4)

а ймовірність приймає вигляд

, (5)

де - ймовірність появи ланцюжка , а - ймовірність появи ланцюжка . Якщо по аналогії з попередніми ланцюжками розглянути останній ланцюжок і зв’язані з ним ймовірності, то після простих перетворень отримаємо

, (6)

де - ймовірність виникнення ланцюжка . Для того, щоб підкреслити залежність ймовірності (6) від -ї траєкторії , перепишемо її у вигляді

. (7)

Статистична оцінка ймовірності попадання процесу в множину за час обчислюється за формулою

. (8)

Ця оцінка є незміщеною, тобто , і ефективною, що випливає з методу її обчислення.

Для більш глибокого засвоєння викладеного вище методу розглянемо гіпотетичну модель частини виробництва, і побудуємо для неї математичну модель в вигляді кусково-лінійного процесу, а потім змоделюємо його траєкторію з використанням методу монотонних ланцюжків.

Розглянемо наступний приклад. Є один основний і два резервні генератори для забезпечення нормальної роботи високоефективного підприємства. В результаті відмови основного генератора, підключається один з резервних, після чого останній становиться основним, а той, що відмовив, починає відновлюватися, і потім відправляється в резерв. У випадку, коли всі генератори є непрацездатні, підприємство перестає функціонувати, що впливає на його прибуток. Треба визначити ймовірність того, що протягом фіксованого проміжку часу підприємство не буде припиняти свою роботу через відмову генераторів.

Моделлю функціонування підприємства є кусково-лінійний процес

,

усі компоненти якого однакові й інтерпретуються таким чином:

,

де

а неперервні компоненти задаються функціями розподілу

,

в залежності від того, дорівнює 0 чи 1, відповідно.

Нехай множина особливих станів :