Сторінка
2

Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей

Рівність (9) можлива лише тоді, коли коефіцієнти при однаковому степеню X в обох частинах рівності однакові, тобто

Отже, розклад (8) тепер приймає вигляд:

Інтегруючи цю рівність, одержимо

Інтегрування виразів, що містять ірраціональність.

При інтегровані виразів, що містять дробові степені змінної інтегрування, методом підстановки зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу. Розглянемо декілька випадків.

1. Підінтегральна функція є раціональним дробом відносимо , де

- дробове число. В цьому випадку вводять нову змінну , де

q — спільний знаменник дробових показників степеня змінної x .

Приклад 8. Знайти

Розв'язування. Маємо

Спільний знаменник дробових показників степенів змінної x дорівнює 12. Тому зробимо підстановку i ми одержуємо

2. Підінтегральний вираз містить дробові степені лінійного двочлена (ах+b). У цьому випадку доцільно зробити підстановку ,

де q - спільний знаменник дробових показників степенів двочлена.

Приклад 9. Знайти

Розв'язування. Нехай

Тому

Поняття інтегралів, що не виражаються елементарнимифункціями.

Математиками доведено, що будь - яка неперервна функція має первісну і, отже, невизначений інтеграл. Існують прості елементарні функції, первісні яких не можна виразити скінченою комбінацією елементарних функцій.

Доведено, наприклад, що жоден із інтегралів:

не виражається елементарними формулами. Вони зустрічаються у практичній діяльності. Наприклад, доведемо, що

суму членів степеневого ряду правої частини приймають за нову функцію, яку позначають і називають синус інтегральний змінної х.