Сторінка
2

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів

Зауважимо, що ознака збіжності, яка вище доведена, є тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною.

Існують такі знакозмінні ряди (13.20), котрі збігаються, а ряди, складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.

Означення. Знакозмінний ряд (13.20) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд (13.21), складений із абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд (13.20) збігається, а ряд (13.21), складений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно збіжним.

За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 1 часто формулюють таким чином: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним

рядом.

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

.

Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду

.

Для дослідження збіжності цього ряду використаємо ознаку порівняння:

,

а ряд

розбіжний,

тому і ряд розбігається.

Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца (13.17) - (13.18):

1)

2) .

Обидві умови виконуються.

Оскільки ряд із абсолютних членів даного ряду розбігається і виконуються обидві умови теореми Лейбніца, то даний знакочергуючий ряд збігається умовно.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .

Р о з в ‘ я з о к. Ряд із абсолютних величин членів цього ряду має такий вигляд . Оскільки і ряд збігається , то даний знакозмінний ряд збігається абсолютно.

Приклад 3. Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к.

(не виконується необхідна умова збіжності), тому даний ряд взагалі розбігається.

Відмітимо в кінці даного розділу (без доведення) наступні властивості абсолютно збіжних і умовно збіжних рядів.

Теорема 2 (теорема Діріхле). Якщо знакозмінний ряд (13.20) збігається абсолютно, то буде збігатися і при тому абсолютно ряд, одержаний із даного довільною перестановкою його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.

Теорема 3 (теорема Рімана). Якщо знакозмінний ряд (13.20) збігається умовно, то, яке б не взяти наперед число , скінчене або рівне , можна так переставити члени цього ряду, щоби його сума в точності дорівнювала