Сторінка
2

Диференціальні рівняння вищих порядків

Після інтегрування одержимо загальний розв’язок рівняння

Рівняння виду

що також не містить явно зводиться за допомогою заміни до рівняння го порядку.

12.7.3. Рівняння виду Це рівняння не містить в правій частині явно Зробимо заміну

Тоді і рівняння стає після заміни рівнянням першого порядку

Знайшовши загальний розв’язок даного рівняння , одержимо рівняння

Загальний інтеграл рівняння має такий вигляд

Приклад 3. Задача про другу космічну швидкість. Визначити найменшу швидкість, з якою потрібно кинути тіло вертикально вверх, щоби воно не повернулося на Землю. Опором повітря нехтувати. Р о з в ‘ я з о к. Позначимо масу тіла а Землі - За законом тяжіння Ньютона сила притягання, що діє на тіло дорівнює

віддаль від центра Землі до цента ваги кинутого тіла, гравітаційна стала. Згідно другого закону Ньютона диференціальне рівняння руху має вигляд

або

(12.27) В рівнянні (12.27) взято знак мінус тому, що в задачі прискорення від’ємне. Диференціальне рівняння (12.27) належить до виду, що розглядався в п.12.7.3. Будемо шукати розв’язок рівняння при таких початкових умовах:

Тут радіус Землі, швидкість кидання. Позначимо

швидкість руху. Підставляючи в рівняння (12.27), одержимо

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати

Із умови, що на поверхні Землі при визначимо

Тоді (12.28) За умовою тіло повинно рухатися так, щоби його швидкість була завжди додатною (направлена вверх), отже Оскільки при зростанні величина стає як завгодно малою, то умовабуде виконуватися при довільному , коли вираз в дужках формули (12.28) буде невід’ємним

або Отже, найменша швидкість буде визначатися рівністю (12.29) На поверхні Землі при прискорення сили ваги дорівнює тому із рівності (12.51) одержимо

або Підставляючи це значення в (12.29), одержимо другу космічну швидкість

Враховуючи, що одержимо