Сторінка
1

Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами

План

• Інтегрування частинами
• Інтегрування часток
• Заміна змінної

1. Інтегрування частинами

Нехай і – диференційовані функції на

Тоді або

Звідси

(8.16)

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :

де –поліном , – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за, а що – за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40 і 50 , одержимо інтеграли вигляду , де - одна з функцій в яких слід за брати , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де - одна з функцій вигідно за брати . В інших випадках вибір здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти за , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати .

Інтегруючи вирази , доцільно за взяти . Знаходження із співвідношень теж здійснюється інтегрування частинами .

Для прикладу знайдемо

Приймаючи, а , знайдемо

Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл .

Знову, взявши , знайдемо . Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно та :

Звідси

Приклад 1 .

Позначивши ,

одержимо . Звідси

. (8.17)

Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де – ціле число,

більше за одиницю . Наприклад, при

Звідси .

Приклад 2. .