Сторінка
2

Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості

Означення. Градієнтом функції в точці в даній точці називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції в цій точці :

(7.51)

Тут - орти координатних осей і .

Теорема. Градієнт диференційованої функції в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної як скалярний добуток двох векторів:

.

Перший із співмножників є .

Звідси буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів і збігаються; це найбільше значення дорівнює модулю, тобто числу

.

Теорема доведена.

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання .

Приклад. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції в точці і обчислити значення похідної в цьому напрямку.

Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :

.

Отже, шуканий напрямок складає кут з віссю .

Похідна .

Нехай точка лежить на лінії рівня в точці з рівнянням . Кутовий коефіцієнт дотичної до в точці (рис. 7.11) дорівнює (7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта в точці дорівнює .

Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції в точці напрямлений за нормаллю до лінії рівня , яка проходить через точку .

Зауваження. Градієнт функції в точці запишеться так:

, (7.52)

де - орти координатних осей.