Сторінка
4

Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних

Звідси дістаємо такі стаціонарні точки: .

Знаходимо похідні другого порядку: . Підставляємо у вираз для знайдені значення і :

.

Отже, є точкою максимуму, а - точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють .

Достатня умова екстремуму функції двох змінних.

Теорема. Нехай в околі критичної точки функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо вираз

.

Тоді

1) якщо , то в точці функція має екстремум; максимум, якщо , і мінімум, якщо ,

2) якщо , то в точці функція екстремуму не має.

У випадку , коли , екстремум в точці може бути, може і не бути.

Приклад. Знайти екстремум функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо критичні точки функції :

Функція має дві критичні точки: .

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

Дослідимо характер першої критичної точки :

.

Отже, в точці функція не має ні максимуму, ні мінімуму.

Дослідимо характер другої точки :

Оскільки , то в точці функція має мінімум: .

6.15.3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

1. Нехай на відрізку задана неперервна функція , яка за теоремою Вейерштрасса на даному відрізку сягає свого найбільшого і свого найменшого значення. Проте теорема Вейерштрасса не дає способу знаходження тих точок відрізка , в яких функція дорівнює своєму найбільшому (найменшому) значенню. Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці.

Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

Р о з в ’я з о к. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння

,

дістаємо стаціонарні точки .