Сторінка
2

Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами

.

Складемо характеристичне рівняння матриці

, або .

Алгебраїчне рівняння -го ступеня має коренів. Розглянемо різні випадки.

1. Нехай - дійсні різні числа. Тоді матриця має вигляд .

І перетворена система диференціальних рівнянь розпадається на - незалежних рівнянь

.

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

.

Або в матричному вигляді

де .

Звідси розв’язок вихідного рівняння має вигляд . Для знаходження матриці треба розв’язати матричне рівняння

або ,

де - жорданова форма матриці . Якщо матрицю записати у вигляді

,

то для кожного з стовпчиків , матричне рівняння перетвориться до

, .

Таким чином, у випадку різних дійсних власних чисел матриця являє собою набір - власних векторів, що відповідають різним власним числам.

2. Нехай - комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

,

а перетворена система диференціальних рівнянь

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних рівнянь має вигляд

Або в матричному вигляді

Таким чином, комплексно-спряженим власним числам відповідає розв’язок де

3. Нехай - кратний корінь, кратності , тобто і йому відповідають лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому власному числу, має вид

І перетворена підсистема, що відповідає власному числу , розпадається не дві підсистеми

.

.

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному вигляді

Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

.

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо

.

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних рівнянь, тобто

.

Загальний розв’язок однорідного має вигляд .

Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених коефіцієнтів у вигляді

,

де - невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо

.

Звідси і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд

.

Піднявшись ще на один крок нагору одержимо

.

Продовжуючи процес далі, маємо

.

Або у векторно - матричному вигляді

.

Додавши першу підсистему, одержимо

,

Для останніх двох випадків матриця знаходиться як розв’язок матричного рівняння

.