Сторінка
5

Визначені та невласні інтеграли

Згідно з теоремою Лагранжа маємо:

де

Тому і довжина вписаної ламаної буде

За умовою теореми f'(х) неперервна, тому і функція також неперервна, а це означає, що існує скінченна границя

що й треба було довести.

Наслідок. Якщо дуга задана параметрична x = (t), y = , , то її довжину знаходять за формулою

4.3. Обчислення об'єму та площі поверхні тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена кривою у =f(х), від­різком [а, b] осі 0х та прямими х = a та x = b обертається нав­коло осі 0х (Мал. 7). Тоді об'єм тіла обертання можна знайти за формулою

(17)

а площу поверхні обертання за формулою

(18)

Приклад 3. Обчислити об'єм ку­лі радіуса R.

Мал. 7

Розв'язування. Кулю можна розглядати як результат обертан­ня півкруга, обмеженого частиною кола х2 + у2 = R2, у0, навколо осі 0х.

Використовуючи рівність симетричність кола відносно осі 0у та формулу (17), одержимо об'єм V кулі

(кубічних одиниць).