Сторінка
4

Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

Тоді

Це знакозмінний ряд і , оскільки, , то з точністю до

обчислимо

13.15. Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

Якщо інтегрування диференціальних рівнянь не зводиться до квадратур, то застосовують наближені методи інтегрування рівняння. Одним із таких методів є представлення розв’язку рівняння у вигляді ряду Тейлора. Сума скінченого числа членів цього ряду буде наближено представляти шуканий частинний розв’язок.

Нехай, наприклад, потрібно знайти розв’язок диференціального рівняння другого порядку

(13.66)

що задовольняє початковій умові

(13.67)

Припустимо, що розв’язок існує і представляється у вигляді ряду Тейлора (13.52):

Виходячи із рівняння (13.66) та умов (13.67), можна знайти тобто значення похідних від частинного розв’язку при

Дійсно, з умов (13.67) випливає, що

Із рівняння (13.66) одержимо:

Диференціюючи обидві частини рівняння (13.66) по

()

і підставляючи значення в праву частину . одержимо

Диференціюючи співвідношення () ще раз, знайдемо:

і т. д.

Приклад 1. Записати три перших, відмінних від нуля, члени розкладу в степеневий ряд за степенями розв’язку диференціального рівняння

,

що задовольняє початкову умову

Р о з в ’ я з о к. Розв’язок даного диференціального рівняння запишемо у вигляді ряду за степенями

Із рівняння знаходимо Диференціюючи рівняння по одержимо

і

і

Тоді

Якщо рівняння лінійне, то зручніше шукати коефіцієнти розкладу частинного розв’язку за методом невизначених коефіцієнтів.

Для цього шукаємо розв’язок у вигляді степеневого ряду

,

підставляємо його безпосередньо в диференціальне рівняння та прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в різних частинах рівняння.

Приклад 2. Знайти перших 5 членів розкладу в степеневий ряд розв’язку диференціального рівняння

з початковими умовами

Р о з в ’ я з о к. Запишемо розв’язок рівняння у вигляді степеневого ряду

Продиференціюємо його почленно два рази

В силу початкових умов Підставляємо і в диференціальне рівняння ( для використаємо ряд (13.56) ):

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях одержимо систему рівнянь

із якої послідовно знаходимо

і т. д.

Тоді