Сторінка
3

Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах

,

або

,

де - середній радіус між і .

Припускаючи, що функція неперервна в області , складемо для неї інтегральну суму , вибираючи точки в областях так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса , тобто покладемо. Тоді інтегральна сума запишеться так :

.

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції

Рис.11.8 Рис.11.9

за змінними і , а тому, переходячи до границі, дістанемо

. (11.20)

Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат до полярних . Вираз називається елементом площі.

Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними і .

Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.

1. Нехай полюс лежить за областю інтегрування , а сама область поміщена між променями та і координатні лінії зустрічають її межу не більше як у двох точках (рис.11.9). Припустимо, що полярні рівняння кривих і .

Інтегруючи спочатку за у межах його зміни за сталою , тобто від до , а потім за від до , дістанемо

. (11.21)

У частинному випадку , якщо область інтегрування є частина кругового кільця , то межі інтегрування сталі за двома змінними

. (11.22)

2. Нехай полюс лежить в області інтегрування і будь-який полярний радіус перетинає її межу в одній точці. Інтегруючи спочатку за , а потім за , дістаємо

, (11.23)

де - полярне рівняння межі області .

Частково, при , тобто , якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то

. (11.24)

Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:

1) записати межу області у полярних координатах;

2) замінити аргументи та підінтегральної функції відповідно на і ;

3) замінити елемент площі на ;

4) розставити межі інтегрування по області ;

5) обчислити повторний інтеграл.

Приклад. За допомогою переходу до полярних координат обчислити подвійний інтеграл де область частина кільця (рис. 11.10).

Р о з в ‘ я з о к.