Сторінка
2
Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів:
.
Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність:
,
а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз.
Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так: . Похідні п’ятого, шостого і т. д.
- го порядку: .
6.10. Диференціали вищих порядків
Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал
.
У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .
Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .
Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо
.
Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:
. (6.68)
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом .
Отже, згідно з означенням
.
Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку:
(6.69)
Приклад. Знайти другий диференціал від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні і :
,
Тоді
.
При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
Інші реферати на тему «Математика»:
Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Визначені та невласні інтеграли
Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)
Синтез систем з оптимізацією модальних регуляторів