Сторінка
2

Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння

Доведемо, що вираз (12.33) є загальним розв’язком рівняння (12.30а).

Для цього покажемо, що довільні сталі , які входять у цей розв’язок, можна підібрати так, щоб виконувались початкові умови

. (12.34)

Справді, оскільки з умов (12.34) одержуємо

Це лінійна система алгебраїчних рівнянь відносно , головний визначник якої є визначником Вронського для функцій при . За умовою ці функції лінійно незалежні і, отже , визначник Вронського відмінний від нуля. Таким чином, система має єдиний розв’язок , якому відповідає розв’язок задачі Коші (12.30а) , (12.34). Властивість доведено.

20. Якщо відомий загальний розв’язок рівняння (12.31а), то загальний розв’язок рівняння (12.30а) можна знайти методом варіації довільних сталих Лагранжа за допомогою квадратур.

Справді, будемо шукати розв’язок неоднорідного рівняння (12.30а) у формі

(12.35)

де - поки що невідомі функції від .

Тоді для визначення похідних від будемо мати систему алгебраїчних рівнянь

(12.36)

Покажемо доведення цієї системи на прикладі диференціального рівняння другого порядку

Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді Диференціюючи, одержимо

Нехай виконується умова

тоді

Знайдемо другу похідну

Підставляючи і в диференціальне рівняння, одержимо

Перепишемо це рівняння таким чином

Оскільки розв’язки однорідного рівняння, то вирази в дужках тотожньо рівні нулю; тому із останнього рівняння одержимо

Отже, ми одержали систему рівнянь для визначення похідних аналогічну системі (12.36)

(12.36а)

Із системи (12.36а) знаходимо Нехай Тоді, після інтегрування одержимо

Загальний розв’язок неоднорідного рівняння запишеться у вигляді

(12.37)

Приклад. 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння методом варіації довільних сталих.

Р о з в ‘ я з о к. Розв’яжемо відповідне однорідне рівняння

Характеристичне рівняння має корені Тоді

загальний розв’язок ЛОДР

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

де визначаються із системи (12.36а)

Тоді

Отже

і загальний розв’язок початкового диференціального рівняння матиме вигляд