Сторінка
6

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

,звідки . Величина визначається з рівності ,

звідки

,

де довільна стала. Позначимо інтеграл, що фігурує справа, через : . Інтегруючи двічі частинами, отримаємо

,

а функцію визначимо за допомогою рівності

.

Отже, сила струму визначається виразом

.

12.5. Рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння виду

, (12.24)

в якому неперервні функції, а число відмінне від

нуля та одиниці, називається рівнянням Бернуллі(при

маємо лінійне рівняння, а при - рівняння з відокремлюваними

змінними).

Покажемо, що рівняння Бернуллі зводиться до лінійного диференціального рівняння першого порядку. Для цього поділимо ліву й праву частини рівняння (12.24) на :

та виконаємо заміну змінної . Оскільки

,

диференціальне рівняння Бернуллі перетворюється на рівняння

яке є лінійним. Проінтегрувавши його одним з описаних раніше способів і повернувшись від до попередньої змінної , можна отримати розв’язок рівняння Бернуллі.

Зауважимо, що зручніше розв’язувати рівняння Бернуллі, не зводячи його до лінійного, за допомогою підстановки , тобто так само, як і лінійне неоднорідне рівняння.

Покажемо це на прикладі.

Приклад .Розв’язати рівняння Бернуллі

.

Р о з в ’ я з о к. Будемо шукати невідому функцію у вигляді.. Підстановка цієї функції у рівняння приводить до рівності або

.

Функцію знайдемо із співвідношення , яке отримується, якщо вираз у дужках прирівняти до нуля: . Відносно отримується рівняння з відокремлюваними змінними

, загальний інтеграл якого буде таким:

,

де довільна стала. Отже, відповідь

.

12.6. Рівняння в повних диференціалах.

Інтегруючий множник

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

(12.25)

називається рівнянням у повних диференціалах, якщо - неперервні диференційовані функції, для яких

виконується співвідношення

, (12.26)

причому та - також неперервні функції.

Покажемо, що коли ліва частина рівняння (12.25) є повним диференціалом деякої функції , то виконується умова (12.26), і навпаки, з виконання умови (12.25) випливає, що ліва частина рівняння (12.25) – повний диференціал (вперше цю умову отримав член Петербурзької академії наук Л.Ейлер (1707-1783)).

Справді, нехай зліва у рівнянні (12.25) стоїть повний диференціал, тобто .

Оскільки

,