Сторінка
2

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач

Кут водночас є кутом між віссю і перпендикуляром до площини (11.26). Тому на основі рівняння (11.26) і формули аналітичної геометрії маємо:

.

Тоді

.

Підставляючи цей вираз у формулу (11.27), дістанемо (зауваживши при цьому, що при

):

.

Границя, яка стоїть у правій частині за означенням є подвійним інтегралом, тобто

. (11.28)

Це і є формула, за якою обчислюється площа поверхні .

Якщо рівняння поверхні задано у вигляді або

, то відповідні формули для обчислення площі поверхні матимуть вигляд

,

,

де - області відповідно на площинах і , в які проектується ця поверхня.

Рис.11.15

що вирізається циліндром

Р о з в ‘ я з о к. Дана поверхня – параболоїд (рис.11.15). Обчислимо частинні похідні: Область інтегрування круг з радіусом, що дорівнює 1. Тоді за формулою (11.28) маємо, перейшовши в подвійному інтегралі до полярних координат: