Сторінка
4

Основні правила диференціювання. Таблиця похідних

(6.31)

Зокрема,

(6.32)

2. Нехай маємо логарифмічну функцію , де . Згідно з означенням логарифмічної функції маємо таку рівність:

Оскільки , то

Отже,

(6.33)

Зокрема,

(6.34)

4. Похідні від тригонометричних функцій

1.. Знайдемо приріст функції в довільній точці :

Знайдемо відношення

Перейдемо в цій рівності до границі при :

Отже похідна від функції існує в довільній точці і дорівнює

(6.35)

2.. Аналогічно доводиться, що від функції в довільній точці існує похідна, яка дорівнює

(6.36)

3. Зобразимо у вигляді

Скориставшись формулою (6.20), маємо

Отже,

(6.37)

4.. Аналогічно можна довести, що

(6.38)

5. Похідні обернених тригонометричних функцій

1., де , .

Тоді згідно з означенням функції маємо таку рівність:

причому похідна при не дорівнює нулю. Тому для знаходження похідної від можна скористатися формулою (6.24):

Оскільки , то набуває тільки додатних значень. Тоді можна записати:

Отже, остаточно

(6.39)

2. Аналогічно можна вивести формули похідних

(6.40)

(6.41) (6.42)

6. Похідна від складної функції

Функція однієї змінної.

Теорема. Нехай маємо складну функцію і нехай: 1) зовнішня функція в точці має похідну (по ) ; 2) внутрішня функція в точці має похідну (по ) . Тоді складна функція в точці також має похідну (по ), яка дорівнює добутку похідних від зовнішньої і внутрішньої функції, тобто