Сторінка
1

Оптимізація активно-пасивних операцій комерційного банку методом імовірнісних автоматів

У сучасній науковій літературі дуже мало уваги приділяється такому важливому аспекту банківської діяльності як оптимізація активно-пасивних операцій. Дуже часто даються лише певні методологічні підходи і не пропонуються конкретні моделі поведінки банку, але ж для того, щоб отримати максимальний прибуток, банк повинен уміти управляти активами й пасивами. Найоптимальнішим випадком є рівність активів і пасивів, що на практиці вважається неможливим, оскільки не завжди вдається знайти необхідну кількість активів або пасивів. У даній статті викладено математичний підхід до вирішення даної проблеми.

Одним з підходів, які можна використати в цьому випадку, є задача знаходження оптимальної маржі, тобто різниці між відсотковими ставками по кредитах і депозитах, при якій прибуток банку буде максимальним. Найпростіше це завдання можна сформулювати так: розглядається комерційний банк і відповідні йому функції пропозиції грошей з боку клієнтів банку – Ms(p) і функція попиту на гроші з боку клієнтів, що бажають взяти кредит у банку – Md(p), де р – процентна ставка. Залежно від ринкової ситуації банк пропонує певні процентні ставки по кредитах і депозитах, при цьому необхідно знайти таку оптимальну маржу, при якій прибуток банку буде максимальним [2].

Вирішимо цю задачу в найпростішому випадку, коли функції попиту та пропозиції грошей – лінійні, тобто Ms(p) = ap + b, Md(p) = d – cp, де a, b, с та d – деякі позитивні константи. Цілком зрозуміло, що існує деяка ставка, за якої попит і пропозиція грошей будуть збігатися, але ця ставка нас не цікавить, оскільки в цьому випадку банк не зацікавлений, тому що він не отримає ніякого прибутку. Для того, щоб виразити зацікавленість банку, введемо поняття маржі: нехай ставка по депозитах буде р, тоді ставка по кредитах – р. + D, де D – маржа. Тоді математичне формулювання задачі має такий вигляд:

В(D)D а max,

Ms(p) = Md(p + D) = В(D),

D > 0.

У цьому випадку В(D) – це грошова маса, що перебуває на рахунках комерційного банку (рис. 1).

Рис. 1. Взаємозв’язок процентної ставки, маржі й прибутку комерційного банку

Рішенням даної оптимизаційної задачі є значення маржі D, за допомогою якого можна прорахувати максимальний прибуток банку В(D), а значить і грошову масу банку В(D), а з її допомогою ставку по кредитах і депозитах. Однак для практики дане завдання занадто „ідеальне”, оскільки банк не завжди може знайти необхідне значення активів або пасивів, щоб їх зрівняти. Вона дає лише наближену відповідь на питання „яку маржу може собі дозволити комерційний банк”.

У випадку, коли завдання не вирішується звичайними методами оптимізації, на допомогу приходять імітаційні методи, одним із яких є метод ймовірносно-автоматного моделювання. Даний метод досить широко використовується в різних галузях економіки, зокрема й у банківській діяльності для прогнозування курсу валют і різноманітних операцій комерційного банку. Унікальність методу полягає в тому, що він дозволяє враховувати імовірнісні фактори при моделюванні складної економічної системи [3].

У нашому випадку на систему діють такі імовірнісні фактори, як попит і пропозиція грошей з боку клієнтів банку, а також фактори ризику, які поки що не будемо розглядати, щоб не ускладнювати рішення задачі.

Нова постановка задачі буде звучати так: функції попиту та пропозиції грошей для комерційного банку являють собою деякі випадкові величини. Коли в банку активи перевищують пасиви, він підвищує процентні ставки по кредитах і депозитах на величину Dр1 і купує необхідну кількість ресурсів на біржі під відсоток, a якщо ж пасиви перевищують активи, то він знижує процентні ставки на Dр2 і продає свої ресурси на біржі під відсоток a. За Т-одиниць автоматного часу маржа змінює своє значення від m0 + Dт до m0 + ТDт. У кожну одиницю часу розраховується прибуток банку. Завдання полягає в знаходженні оптимальної маржі й максимального прибутку, що їй відповідає.

Внутрішні стани автоматів моделі будуть такими:

a1(t) – лічильник зміни маржі;

a2(t) – випадкова величина – попит на гроші;

a3(t) – випадкова величина – пропозиція грошей;

a4(t) – маржа на момент автоматного часу t;

a5(t) – прибуток банку на момент автоматного часу t;

a6(t) – максимальний прибуток банку на момент автоматного часу t;

a7(t) – маржа, при якій було досягнуто максимальний прибуток банку на момент автоматного часу t;

b(t) – процентна ставка по кредитах на момент часу t.

Таблиця умовних функціоналів переходів буде такою: