Сторінка
2

Основні поняття математичного програмування. Побудова моделі задачі лінійного програмування

Таблиця 1.1

Вивчення ринку збуту виявило, що добовий попит на фарбу другого виду ніколи не перевищує попиту на фарбу першого виду більше, ніж на 1 т, а попит на фарбу другого виду не буває більшим 2 т на добу. Яку кількість фарби кожного виду має виробляти підприємство, щоб сумарний прибуток від реалізації був максимальним?

Для прикладу, що розглядається, математична модель матиме наступну структуру:

Змінні: x1, x2 – добовий обсяг виробництва фарби, відповідно першого та другого видів, у тоннах.

Цільова функція: Позначивши загальний прибуток через Z, можна подати цільову функцію у вигляді такої формули:

Z= З x 1+2 x 2 ® max

Обмеження: В даній задачі передбачено два види обмежень: на запас сировини та на обсяг можливого збуту. Крім того, неявне обмеження полягає в тому, що обсяги виробництва продукції не можуть приймати від’ємні значення. Таким чином, щоб виключити недопустимі розв’язки, будемо вимагати виконання умов невід’ємності змінних.

В цілому, математичну модель можна записати наступним чином. Визначити добові обсяги виробництва (x1 та x2 ) фарби 1 і фарби 2 (у тонах), такі, що забезпечать максимум сумарного прибутку:

Z= 3x1+2x2 ® max (цільова функція)

при додержанні обмежень:

Дана модель є лінійною, оскільки всі функції, що містяться в ній (обмеження й цільова функція), лінійні. Лінійність передбачає наявність у функції двох властивостей: пропорційності та адитивності.

1. Пропорційність означає, що внесок кожної змінної до цільової функції та загальний обсяг споживанняресурсів є прямо пропорційними величині цієї змінної. Якщо ж, наприклад, підприємство надасть покупцеві знижку, продаючи фарбу першого виду при обсязі закупівлі вище 2 т по ціні на 0,5 тис. г.о. меншій, то питомий прибуток (коефіцієнт цільової функції при x1) дорівнюватиме 3 тис. г.о. при x1 <2 т і 2,5 тис. г.о. при x1³2. Пропорційність між прибутком підприємства та величиною x1 у цьому випадку порушиться.

2. Адитивність полягає в тому, що цільова функція являє собою суму внесків від різних змінних. Аналогічно ліва частина кожного обмеження – це сума витрат, в якій кожна складова є пропорційною величині відповідної змінної. Якщо, наприклад, фірма виготовляє два конкуруючих товари, і збільшення збуту одного з них сприяє зниженню обсягів реалізації другого, то модель не матиме властивості адитивності.

Підсумовуючи все сказане в даному параграфі, зауважимо, що лінійне програмування являє собою теоретичний апарат модельного дослідження, спрямованого на відшукання найкращого способу розподілу обмежених ресурсів за декількома взаємозалежними по меті і використанню ресурсів видами виробничої діяльності. ЛП знайшло широке застосування при розв’язанні багатьох практичних задач організаційно-економічного керування.