Сторінка
2

Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання теореми існування

У даному випадку на підінтегральну функцію це обмеження не накладатиметься, але метод побудови інтегральних сум залишиться таким самим, що й раніше. Для прикладу розглянемо фігуру, обмежену графіком функції , зображеним на рис.9.2 віссю і двома ординатами в точках, де (ця фігура заштрихована).

Так само, як це було і раніше, інтервал розіб’ємо на частинок точками

Рис.9.2

(точки інтервалу не обов’язково повинні збігатися з точками ) ) і побудуємо суму

де , яка називається інтегральною. Але ця сума вже не буде площею фігури з тієї простої причини, що на інтервалах відповідні члени суми будуть від’ємними, а на інших – додатними. Перейшовши в цій сумі до границі, коли , одержимо

(9.1)

Ті самі міркування, що і в п. 9.1, привели до поняття визначеного інтеграла.

Означення. Якщо границя (9.1) існує і скінченна, не залежить від способів розбиття інтервалу на частини, ні від вибору точок в кожній із частин, то вона називається визначеним інтегралом функції на інтервалі і позначається символом . У цьому випадку функція називається інтегровною на .

Площа фігури, заштрихованої на рис.9.2, уже не дорівнюватиме . Площа цієї фігури

і ця рівність безпосередньо випливає з означення модуля функції.

Отже, визначений інтеграл не завжди дорівнює площі криволінійної трапеції. Саме визначення визначеного інтеграла ставить ряд проблем: а) за яких умов границя величини (9.1) не залежить від способів розбиття інтервалу на частини; б) не залежить від вибору точки в кожному з окремих інтервалів ; в) за яких умов вона буде існувати і буде скінченою. Відповіді на ці запитання можна знайти у фундаментальних курсах математичного аналізу. Тут лише повідомляється (без будь-яких доведень) відповідь на ці проблеми у вигляді теореми.

Теорема. Усяка обмежена на інтервалі функція інтегровна, якщо вона має скінченну кількість точок розриву. Зокрема буде інтегровною на інтервалі функція , якщо вона неперервна на цьому інтервалі.

Зауваження. Визначений інтеграл залежить тільки від виду функції і меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, котру можна позначати довільною буквою.

Приклад1. Обчислити на основі інтегральної суми.

Р о з в ’ я з о к. Розіб’ємо інтервал на рівних частинок. При цьому довжини всіх інтервалів будуть рівними між собою і дорівнюватимуть . Ординати в точках поділу обчислюватимемо на правому кінці кожного інтервалу. Вони складуть таку послідовність:

Інтегральна сума матиме вигляд

Пропонується здійснити обчислення, взявши ординати на лівому кінці кожного інтервалу.

Як видно із наведеного прикладу, безпосереднє обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум пов’язане з певними труднощами. Навіть в простих випадках, коли підінтегральна функція є дуже простою, цей спосіб вимагає громіздких підрахунків. Знаходження інтегралів від більш складніших функцій приводить до ще більших труднощів. Інтегральні суми використовували ще в древні часи при розв’язуванні певних задач, але до тих пір, поки не був відкритий метод обчислення визначеного інтеграла, його застосування було обмежене. Цей метод, відкритий Ньютоном і Лебніцем, використовує глибокий зв’язок між інтегруванням і диференціюванням.