Сторінка
2

Частинні похідні і диференціали вищих порядків

Отже, за означенням .

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,

.

Якщо функція в області має неперервні частинні похідні до - го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх:

тощо.

Введемо символічну - у степінь : вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну - у степінь із подальшою зміною степенів і , помножених на , частинними похідними відповідного порядку від функції .

Тоді

(6.72)

…………………………………………….

Зауваження. Якщо - диференційована функція проміжних змінних і , які, в свою чергу, є диференційованими функціями і , то, обчислюючи , і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.

Так,

Тут і - не є постійними (постійні ). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.