Сторінка
13

Прикладна спрямованість шкільного курсу математики

Із поняттям «модель» (тоdele — зразок, копія) ви зустрічалися, розглядаючи моделі літака, автомобіля, піраміди, кулі тощо. Основна властивість кожної моделі полягає в тому, що вона відображає найсуттєвіші властивості оригіналу. Математична модель — це опис якогось реального об'єкта або процесу мовою математичних понять, формул, рівнянь тощо, що є записами законів природи, які керують досліджуваним об'єктом чи явищем.

2. Історична довідка.

Учень. Існує ціла наука - прикладна математика, їй уже кілька тисячоліть. Учені Стародавнього Єгипту обчислювали площі полів, об'єми приміщень тощо, уся математика тоді була прикладною.

У V—IV ст. до н.е. в Греції почала створюватися теоретична (чиста) математика.

Значний вклад у розвиток прикладної математики вніс український математик Михайло Кравчук — академік Всеукраїнської академії наук, її вчений секретар, якого у 1938 році безпідставно репресували й заслали на Колиму, де він і загинув. (Демонструється портрет М.Кравчука.)

3. Приклади математичних моделей.

Задача 1. Скільки дошок потрібно, щоб настелити підлогу в кімнаті довжиною 9 м і шириною 5 м, якщо довжина дошки'6 м, а ширина 0,25 м? Обговорення умови

1) Дана задача є математичною чи прикладною?

2) Назвіть об'єкти даної задачі. Вони математичні чи реальні?

3) Переформулюйте прикладну задачу в геометричну і розв'яжіть її. Що для цього потрібно зробити? Накресліть геометричну модель до задачі.

Розв'язання

Поверхня підлоги кімнати має форму прямокутника. Знайдемо його площу

S =9·5=45 (м2). Оскільки дошка також має форму прямокутника, то її площа:

S =6·0,25=1,5 (м2).

Кількість дошок х дорівнює:

х = 45 : 1,5 = З0.

Відповідь. З0 дошок.

Учитель. Розв'язування будь-якої прикладної задачі математичними методами здійснюється в три етапи:

1) формулюємо задачу мовою математики, тобто будуємо математичну модель;

2) розв'язуємо одержану математичну задачу;

3) записуємо математичний розв'язок мовою, якою була сформульована початкова задача.

Схематично ні етапи можна зобразити так:

З — дана прикладна задача, М — її математична модель, В — відповідь до моделі, П — відповідь до прикладної задачі. Перехід від 3 до М називають процесом моделювання. Щоб створити відповідну модель, треба знати не тільки математику, а й ту галузь науки чи виробництва, з якою пов'язана дана прикладна задача.

Розрізняють математичні моделі першого і другого роду. До моделей першого роду належать графіки, графи, схеми, числові таблиці, різні кібернетичні моделі. Абстрактніший характер мають надзвичайно важливі для теоретичних досліджень і практики моделі другого роду — рівняння, нерівності та їхні системи.

4. Застосування математичного моделювання.

Учитель. 1) Розглянемо, як одне й те саме рівняння може відображати перебіг різних процесів.

Трьом групам учнів класу треба скласти математичні моделі до таких прикладних задач.

1. Як можна розміняти 1 грн. на монети по 2 к. і 5к.?

(Нехай х і у — кількість відповідно дво- і п’яти копійкових монет, тоді 2х + 5у = 100.)

2. Два автомобілі перевезли за день 82 т зерна. Вантажність одного автомобіля 8 т, а другого — 6 т. Скільки рейсів могли зробити автомобілі?

(Нехай один автомобіль зробив х рейсів, а другий — у рейсів, тоді 8x + 6у = 82.)

3. У швейному цеху є 38 м тканини. На пошиття піжами потрібно 4 м тканини, а на халат — 3 м. Скільки можна пошити піжам і халатів?

(Нехай х та у — відповідно кількість піжам і халатів. Тоді 4х + Зу = 38.)

Як бачимо, всі три задачі мають спільну математичну модель — рівняння виду ах + bу = с.

IV. Розв'язування задач.

У першому завданні треба лише скласти математичну модель до задачі; другу задачу слід розв'язати, попередньо склавши її математичну модель.

Учнів об'єднують у три групи. Троє учнів (по одному від кожної групи) працюють біля дошки.

Завдання для першої групи

1. Обчисліть об'єм кімнати, якщо її довжина 12,3 м, ширина 8,3 м, висота 4,3 м.

Відповідь. V = 12,3·8,3·4,3.

2. У кінозалі 360 місць. У кожному ряді місць на 2 більше, ніж рядів у залі. Скільки рядів у залі і скільки місць у кожному ряді?

Розв'язання

Нехай у кінозалі х рядів, а в кожному ряді у місць. Маємо систему:

xy = 360,

у – x = 2,

Відповідь. 18 рядів, 20 місць.

Завдання для другої групи

1. Учень купив кілька зошитів по 80 к. і витратив менше, ніж 3 грн. Скільки зошитів він міг купити?

Відповідь. 80х < 300, де х — кількість зошитів.

2. Кубики викладено у рядки так, що у верхньому рядку 3 кубики, а в кожному нижчому — на 2 більше, ніж у рядку над ним. Усього 10 рядків. Скільки кубиків у всіх десяти рядках?

Розв'язання

Кількість кубиків у рядках утворює арифметичну прогресію, у якої = 3, d= 2. Кількість усіх кубиків - це сума десяти перших членів прогресії. Тоді

Відповідь. 120 кубиків.

Завдання для третьої групи

1. Одна друкарка може надрукувати рукопис за З год, а друга - за 5 год. За скільки годин вони надрукують рукопис разом?

Відповідь. , де х — час роботи.

2. Інфузорії-туфельки розмножуються поділом на дві частини. Скільки утвориться інфузорій з однієї після шести поділів?

Розв'язання

Кількість інфузорій після кожного поділу утворює геометричну прогресію, у якої = 1, = 2. Кількість інфузорій після шести поділів — це 7-й член прогресії: = ·= 1 • 26 = 64.

Відповідь. 64 інфузорії.

V. Застосування математичного моделювання у прогнозуванні фізичних явищ та об'єктів.

Учитель. Математика дає змогу описати досить широке коло фактів і спостережень, провести їх детальний аналіз, передбачити, як поводитиме себе об'єкт у різних умовах, тобто спрогнозувати результати майбутніх спостережень. Історія математики знає чимало прикладів, коли в межах удало побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть «на кінчику пера», вдалося передбачити існування нових фізичних об'єктів.

Учениця. Французький астроном Урбен Левер'є (1811—1877), досліджуючи неправильності в русі планети Уран, тобто відхилення траєкторії планети від тієї, яку вона повинна була б мати за законом всесвітнього тяжіння, висловив припущення про вплив на її рух невідомої планети. Левер'є відправив берлінському астроному Галле (1812—1910) листа, в якому писав: «Скеруйте ваш телескоп у точку екліптики в сузір'ї Водолія на довготі 326°, і ви знайдете в межах 1° від цього місця нову планету з помітним диском, яка має вигляд зірки приблизно дев'ятої величини». Галле отримав листа 23.9.1864 р., у першу ж ніч скерував свій телескоп у вказане Левер'є місце небосхилу і на відстані лише 52' від нього побачив невідому планету.