Сторінка
5

Формування математичного поняття дробі на уроках математики

Зокрема, учні не «довідаються» рівнобедрений трикутник, даний у положенні, зазначеному на малюнку 6, а зазнають більших труднощів у встановленні пар подібних трикутників у ситуації, зображеної на малюнку 6, б и т.п.

Велике значення для свідомого засвоєння учнями найважливіших математичних понять має система цілеспрямованих усних питань і вправ, наприклад, таких:

1. Знайдіть помилку в наступних визначеннях (уточните кожне із цих визначень):

а) рівносильними рівняннями називаються такі два рівняння, коли корінь першого рівняння є коріннями другого;

б) пряма, що ділить сторону трикутника навпіл, називається медіаною;

в) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника й рівний половині третьої сторони, називається середньою лінією трикутника.

2. Приведіть приклади, що вказують на недостатність наступних визначень:

а) дотичній до кривої називається пряма, що має із кривій тільки одну загальну крапку.

б) якщо відстань від будь-якої крапки однієї лінії L1 до інший L2 усюди однаково, те такі лінії називаються паралельними і т.д.

Отже, у процесі введення й вивчення в школі математичних понять корисно:

1) не вводити нових понять формально; детально конкретизувати нові абстрактні поняття; по можливості застосовувати конкретно-індуктивний метод;

2) уводити поняття найбільш природним для учнів шляхом; по можливості, варто частіше залучати учнів до самостійного вивчення й визначення розглянутого поняття;

3) мотивувати поняття, терміни, визначення; не допускати в уявленні довільність введення нових понять;

4) у процесі вивчення нових понять корисно виявити зв'язки нового поняття із уже відомими поняттями; указувати на аналогію в характеристиці нових понять і понять відомих;

5) на кожному уроці корисно повторювати визначення відомих учнем найважливіших математичних понять, пов'язаних з поняттями, розглянутими на даному уроці, вимагаючи в той же час не стільки запам'ятовування визначень понять напам'ять, скільки правильної передачі сутності визначення даного поняття;

6) при оволодінні учнями тими або іншими математичними поняттями строго стежити за мовою учнів, вимагати чіткості, стислості й строгості у формулюваннях визначень. Варто мати на увазі, що «профілактика» помилок ефективніше їхнього виправлення. Займатися такою профілактикою вчителеві потрібно постійно.

Поняття дробі

Нехай потрібно виміряти довжину відрізка х за допомогою одиничного відрізка е. При вимірі виявилося, що відрізок х складається із трьох відрізків, е, і відрізка, що коротше відрізка е. У цьому випадку довжина відрізка х не може бути виражена натуральним числом. Однак, якщо відрізок е розбити на 4 частині, то відрізок х виявиться складається з 14 відрізків, рівних четвертої частини відрізка е. І тоді, говорячи про дину відрізка х, ми повинні вказати два числа 4 і 14: четверта частина відрізка е укладається у відрізку точно 14 разів. Тому вмовилися довжину відрізка х записувати у вигляді Е, де Е – довжина одиничного відрізка е, а символ називають дробом.

У загальному виді поняття дробі визначають так. Нехай дані відрізок х і одиничний відрізок е, довжина якого Е. Якщо відрізок х складається з m відрізків, рівних n-ой частини відрізка е, те довжина відрізка х може бути представлена у вигляді , де символ називають дробом.

До запису дробі числа m і n – натуральні, m – називається чисельником, n – знаменником дробі.

Дріб називається правильної, якщо її чисельник менше знаменника, і неправильної, якщо її чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Повернемося до мал., де показано, що четверта частина відрізка е уклалася у відрізку х точно 14 разів. Очевидно, це не єдиний варіант вибору такої частини відрізка е, що укладається у відрізку х ціле число раз. Можна взяти восьму частину відрізка е, тоді відрізок х буде складатися з 28 таких частин і довжина його буде виражатися дробом . Можна взяти шістнадцяту частину відрізка е, тоді відрізок х буде складатися з 56 таких частин і його довжина буде виражатися дробом .

Взагалі довжина того самого відрізка х при заданому одиничному відрізку е може виражатися різними дробами, причому, якщо довжина виражена дробом , то вона може бути виражена й будь-яким дробом виду , де до – натуральне число.

Теорема. Для того щоб дроби й виражали довжину того самого відрізка, необхідно й досить, щоб виконувалася рівність mg = np

Визначення: Два дроби й називаються рівними, якщо mg = np. Якщо дробі рівні, то пишуть = .

Наприклад = , тому що 17 х 21 = 119 х 3 = 357, а ≠, тому що 17 х 27 = 459,19 х 23 = 437 і 459 ≠ 437.

Зі сформульованих вище теореми й визначення треба, що два дроби рівні тоді й тільки тоді, коли вони виражають довжину й той же відрізок.

Нам відомо, що відношення рівності дробів рефлексивно, симетрично й транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності. Тепер, використовуючи визначення рівних дробів, це можна довести.

Теорема. Рівність дробів є відношенням еквівалентності.

Доказ: Дійсно, рівність дробів рефлексивно: = , тому що рівність mn = mn справедливо для будь-яких натуральних числі m і n.

Рівність дробів симетрично: = , те = , тому що з mg = np треба, що pn = mg (m,n,p,g ε N).

Воно транзитивне: якщо

= і = , те = .