Сторінка
2

Точні і природничі науки в античній Греції

Аж до VI століття до н. е. грецька математика нічим не виділялася. Були, як завжди, освоєні рахунок і вимір. Грецька нумерація (запис чисел), як пізніше римська, була адитивною, тобто числові значення цифр складалися. Перший її варіант (аттічна, або геродіанова) містили буквені значки для 1, 5, 10, 50, 100 і 1000. Відповідно була влаштована і рахункова дошка (абак) з камінчиками. До речі, термін калькуляція (обчислення) походить від calculus – камінчик. Особливий дірявий камінчик означав нуль.

Пізніше (починаючи з V століття до н. е.) замість аттічної нумерації була прийнята алфавітна – перші 9 букв грецького алфавіту означали цифри від 1 до 9, наступні 9 букв – десятки, інші – сотні. Щоб не сплутати числа і букви, над числами малювали риску. Числа, великі 1000, записували позиційно, позначаючи додаткові розряди спеціальним штрихом (внизу ліворуч). Спеціальні позначки дозволяли зображувати і числа, великі 10000.

У VI столітті до н. е. «грецьке диво» починається: з'являються відразу дві наукові школи – іонійці (Фалес Мілетський, Анаксімен, Анаксимандр) і піфагорійці. Про досягнення ранніх грецьких математиків ми знаємо в основному по згадках пізніших авторів, переважно коментаторів Евкліда, Платона і Аристотеля.

Фалес, багатий купець, добре вивчив вавилонську математику і астрономію – ймовірно, під час торгових поїздок. Іонійці, по повідомленню Евдема Родоса, дали перші докази декількох простих геометричних теорем – наприклад, про те, що вертикальні кути рівні. Проте головна роль у справі створення античної математики належить піфагорійцям.

Піфагорійська школа. Піфагор, засновник школи – особа легендарна, і достовірність відомостей, що дійшли до нас, про нього перевірити неможливо. Мабуть, він, як і Фалес, багато подорожував і теж вчився у єгипетських і вавилонських мудреців. Повернувшись близько 530 р. до н. е. у Велику Грецію (район південної Італії), він в місті Кротон заснував щось на зразок таємного духовного ордену. Саме він висунув тезу «Числа правлять світом», і з винятковою енергією займався його обґрунтуванням. На початку V ст. до н. е., після невдалого політичного виступу, піфагорійці були вигнані з Південної Італії, і союз припинив своє існування, проте популярність вчення від розсіяння тільки зросла. Піфагорійські школи з'явилися в Афінах, на островах і в грецьких колоніях, а їх математичні знання, що строго оберігаються від сторонніх, зробилися загальним надбанням.

Багато досягнень, що приписуються Піфагору, ймовірно, насправді є заслугою його учнів. Піфагорійці займалися астрономією, геометрією, арифметикою (теорією чисел), створили теорію музики. Піфагор перший з європейців зрозумів значення аксіоматичного методу, чітко виділяючи базові припущення (аксіоми, постулати) і теореми, що дедуктивно виводяться з них.

Геометрія піфагорійців в основному обмежувалася планіметрією (судячи з пізніших праць, що дійшли до нас, дуже повно викладеною) і завершувалася доведенням «теореми Піфагора». Хоча вивчалися і правильні многогранники.

Була побудована математична теорія музики. Залежність музичної гармонії від стосунків цілих чисел (довжин струн) була сильним аргументом піфагорійців на користь одвічної математичної гармонії світу, через 2000 років оспіваної Кеплером. Вони були упевнені, що «елементи чисел є елементами усіх речей. і що весь світ в цілому є гармонією і числом». У основі усіх законів природи, вважали піфагорійці, лежить арифметика, і з її допомогою можна проникнути в усі таємниці світу. На відміну від геометрії, арифметика у них будувалася не на аксіоматичній базі, властивості натуральних чисел вважалися самоочевидними, проте докази теорем і тут проводили неухильно. Поняття нуля і негативних чисел ще не виникли.

Піфагорійці далеко просунулися в теорії подільності, але надмірно захопилися «трикутними», «квадратними», «досконалими» і т. п. числами, яким, судячи з усього, надавали містичне значення. Мабуть, правила побудови «піфагорових трійок» були відкриті вже тоді; вичерпні формули для них наводяться у Діофанту. Теорія найбільших загальних дільників і найменших загальних кратних теж, мабуть, піфагорійського походження. Вони побудували загальну теорію дробів (що розуміються як стосунки (пропорції), оскільки одиниця вважалася неділимою), навчилися виконувати з дробами порівняння (приведенням до спільного знаменника) і усі 4 арифметичних операції. Піфагорійці знали, задовго до «Начал» Евкліда, ділення цілих чисел із залишком і «алгоритм Евкліда» для практичного знаходження найбільшого загального дільника. Безперервні дроби як самостійний об'єкт виділили тільки в Новий час, хоча їх неповні приватні природним чином виходять в алгоритмі Евкліда.

Першою тріщиною в піфагорійській моделі світу стало ними ж отриманий доказ ірраціональності, сформульований геометрично як несумірність діагоналі квадрата з його стороною (V століття до н. е.). Неможливість виразити довжину відрізку числом ставила під сумнів головний принцип піфагорійця. Навіть Аристотель, що не розділяв їх погляди, виражав свій подив з приводу того, що є речі, які не «можна виміряти найменшою мірою».

Положення спробував врятувати талановитий піфагорієць Теєтет. Він (і пізніше Євдокс) запропонували нове розуміння числа, яке тепер формулювалися на геометричній мові, і проблем сумірності не виникало. Тееєтет розробив також повну теорію подільності і класифікацію ірраціональностей. Судячи по всьому, йому також були відомі поняття простого числа і основна теорема арифметики.

Згодом, вже в Новий час, з'ясувалося, що побудова числової алгебри на основі геометрії була стратегічною помилкою піфагорійців. Наприклад, з точки зору геометрії вираження x2 + x і навіть x4 не мали геометричного тлумачення, і тому не мали сенсу; те ж відноситься до негативних чисел. Пізніше Декарт поступив навпаки, побудувавши геометрію на основі алгебри, і добився величезного прогресу.

Нумерологічна містика піфагорійців нерідко призводила до довільних і спекулятивних виводів. Наприклад, вони були упевнені в існуванні невидимої Антиземлі, оскільки без неї число небесних сфер (нижнє небо, Сонце, місяць і 6 планет) не складає досконалого числа 10. В цілому, незважаючи на велику кількість містики і ексцентричних забобонів, заслуги піфагорійців в розвитку і систематизації античних математичних знань неоцінимі.

У V столітті до н. е. з'явилися нові виклики оптимізму піфагорійців.

Перший з них – три класичні завдання старовини: подвоєння куба, трисекція кута і квадратура круга. Греки строго дотримувалися вимоги: усі геометричні побудови повинні виконуватися за допомогою циркуля і лінійки, тобто за допомогою досконалих ліній – прямих і кіл. Проте для перерахованих завдань знайти рішення канонічними методами не вдавалося. Алгебра це означало, що не всяке число можна отримати за допомогою 4 арифметичних операцій і витягання квадратного кореня.

Квадратурою круга безуспішно займався видатний геометр-піфагорієць, автор доевклідових «Начал», першого зведення геометричних знань, Гіппократ Хіосський.