Сторінка
12
Розв'язання. Сума, яку має сплатити бідняк багатію, складає суму 14 членів арифметичної професії, перший член та різниця якої дорівнює 1 (105 карбованців). А багатій бідняку сплачує суму, яка складає суму 14 членів геометричної прогресії з першим членом, рівним 1, та знаменником 2 (16383 копійки або 163 карбованці 83 копійки).
Отже, багатій не лише не отримав зиску від цієї угоди, а змушений був доплатити бідняку 58 карбованців 83 копійки.
Задача ('Бахшалійська рукописна арифметика», Індія, VII ст.). Подорожній в перший день проходить дві одиниці шляху, а в кожний наступний день – на три одиниці більше. Другий подорожній проходить в перший день три одиниці шляху, а в кожний наступний – на дві одиниці більше. Коли перший наздожене другого?
Відповідь. На кінець третього дня.
Задача (З індійського фольклору). Цар дуже любив шахи і обіцяв винахідникові гри дати велику винагороду. Винахідник запросив дати йому за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу – дві, за третю – чотири і далі за кожну клітину вдвічі більше, ніж за попередню. Цар здивувався, що винахідник так мало запросив. Але обіцянку не зміг виконати. Чому?
Задача (Задача Архімеда). Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії 
+
Використання історичного матеріалу на уроках математики вимагає врахування вікових особливостей учнів, їх інтересів та профілів навчання. З цією метою вчителю бажано мати розробки, що містять історичні аспекти навчальних тем, які дають можливість підготувати цікавий матеріал для класів різного профілю. Наведемо таку розробку з теми «Призма».
Виготовляючи необхідні для себе предмети, люди наслідували різні природні форми. Єгипетські папіруси та глиняні дощечки з Вавилону свідчать, що давні люди за 2000 років до нашої ери розв'язували задачі прикладного характеру і визначали об'єм призми як добуток площі основи на висоту. Практичні правила знаходження об’ємів тіл призматичної (в тому числі кубічної) форми були відомі також у Стародавніх Індії та Китаї Прямий паралелепіпед з квадратною основою, прямі призми з трапецієподібними і трикутними основами розглядалися у V книзі стародавнього китайського математичного твору «Математика в дев'яти книгах».
Загальні уявлення про геометричні тіла почали формуватися в VI ст. до не. в Греції. Давньогрецьким геометрам були відомі поняття «куб», «паралелепіпед», «призма». Грецьке слово «кібос» буквально означає «гральна кісточка». Тіла, що мали схожі форми, назвали кубами. Цей термін зустрічається в Евкліда. Слово «призма» – також грецького походження і буквально означає «відпиляне» (тіло).
Основні теореми стереометрії викладені в XI книзі «Начал» Евкліда (ІІІст. до н. е.). В кінці XI книги автор розглядає паралелепіпед і вводить загальне поняття призми. Ще в давні часи існувало два підходи до означування геометричних понять:
від фігур вищого порядку до фігур нижчого порядку (від загального поняття тіла через характеристичні ознаки до конкретної фігури);
від фігур нижчого порядку до фігур вищого порядку (від точки через спосіб утворення до конкретної фігури).
Евклід дотримувався першого підходу. У нього «тілом називається те, що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні…» Він розглядав многогранники не порожні, а заповнені (у нашому розумінні простором) і дає таке означення: «Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограмами Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами…». Евклід не застосовував терміна «об'єм». Для нього термін «куб», наприклад, означав і об'єм куба. В XI книзі «Начал» наводяться теореми про порівняння об'ємів паралелепіпедів. Теорему про об'єм призми знав Архімед. Правила для обчислення об'ємів куба, призми, паралелепіпеда є в творах прикладного характеру Герона Александрійського (ймовірно І ст.). Він вперше поєднав два підходи до означування геометричних понять.
В XVI столітті Христофор Клавіус сформулював теорему про центр симетрії паралелограма: «Якщо паралелепіпед розсікається площиною, що проходить через центр, то він розбивається навпіл і, навпаки, якщо паралелепіпед розсікається навпіл, то площина проходить через центр».
Формула об'єму призми доводилася методом неподільних, запропонованим Б. Кавальєрі. Методом рівноскладеності її доведено в підручнику французького математика А. Лежандра «Початки геометрії», який замінив підручники, що грунтувалися на «Началах» Евкліда Лежандр показав, що у прямого паралелепіпеда є три площини симетрії, перпендикулярні до ребер, а у куба – 9 площин симетрії, з яких З перпендикулярні до ребер, а інші 6 проходять через діагоналі граней.
До означення призми повергалися математики у XVIII ст. Так, Брук Тейлор дав таке означення призми: не многогранник, у якого всі грані, за винятком двох, паралельні до однієї прямої.
Формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда була доведена французьким математиком Емілем Борелем, який розглядав три випадки вираження вимірів паралелепіпеда різними числами.
З обчисленням об'єму куба пов'язана визначна задача про подвоєння куба, яка була поставлена у V ст. до н. е. Усі розв'язки цієї задачі, які були запропоновані стародавніми вченими, містить твір німецького математика Йогана Вернера. Неможливість розв'язати задачу про подвоєння куба за допомогою циркуля та лінійки вперше довів французький математик П'єр Вантцель у 1837 році.
У процесі вивчення теми – реалізація виховної мети уроку.
Принцип виховуючого навчання вимагає забезпечувати в навчальному процесі сприятливі умови для розвитку пізнавальних можливостей учнів, формування в них основ діалектико – матеріалістичного світогляду, позитивних моральних якостей.
Реалізуючи виховні завдання в навчанні математики, враховують особливості її змісту, абстрактність понять, багатогранність застосувань. Основу для систематичної виховної роботи вчителя математики складають формування наукового світогляду учнів і розвиток моральних рис особистості.
Іншими словами, виховна функція навчання реалізується у нерозривному зв'язку з освітньою функцією, розвитком в учнів волі, інтелекту, емоційної сфери, формуванням мотивів і потреб учіння, пізнавальних інтересів і творчих здібностей.
Велику виховну роль відіграє ознайомлення учнів з біографіями вчених, з умовами їх життя, з методами їх робота і творчістю. Це завжди для учнів корисно, повчально і цікаво, адже великий вчений, незалежно від чисто особистих рис його характеру, – с прикладом величезної працьовитості, цілеспрямованості в роботі, самобутньої праці на користь людства. І педагогічний висновок із вивчення його біографії для учнів один: «Намагатись хоч трохи бути схожим на нього».
Сучасні підручники з математики містять багато історичних відомостей, старовинних задач і портретів відомих математиків, таких як – Ф. Вієт, Р. Декарт, П. Ферма, Г. Лейбніц, М. ал-Хорезмі та інші.