Сторінка
3

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

В загальному випадку (урахування як акустичних, так і оптичних фононів) задача все ще не розв’язана. Використовуючи довгохвильове наближення, О. С. Давидов показав, що поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку за певних умов супроводжується утворенням локалізованих хвиль, що рухаються без випромінювання, а, отже, мають сталу енергію. Ця гіпотеза підтвердилась і при розгляді дискретної моделі, але точного аналітичного розв’язку для диференційних рівнянь, що описують поширення коливань із урахуванням акустичних фононів, знайдено не було, а утворення локалізованих станів було показано чисельними розрахунками Скоттом [8]. Дослідження поширення таких локалізованих хвиль було здійснено пізніше в роботах [4], [5] та інших.

Енольським і Давидовим розглянуто іншу модель, в якій акустичні коливання вважаємо малими і ними нехтуємо, оптичні коливання ж є суттєвими. Показано, що в довгохвильовому наближенні автолокалізовані стани утворюються також при взаємодії з цими коливаннями [6]. Дослідження дискретної моделі та знаходження розв’язків чисельним інтеґруванням рівнянь для оптичних фононів, буде розглянуто автором роботи.

Хвильова функція квазічастинки. Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів.

Хвильова функція квазічастинки

Принцип Гайзенберґа стверджує, що неможливо одночасно визначити точні координати та імпульс частинки: . Цей принцип і відрізняє квантову частинку від звичайної частинки у класичному розумінні. Хвиля не може бути локалізована в точці, а тому є сенс говорити про розподіл ймовірностей знаходження частинки у тій чи іншій точці простору. Цей розподіл зазвичай описують деякою функцією y(x,t)[4], яка здобула назву хвильової функції квазічастинки. Ця функція є комлекснозначною, і її квадрат модуля y*y має зміст густини ймовірності знаходження квазічастинки у певній точці простору. Якщо ми знаємо, який вигляд має хвильова функція, ми зможемо описати її рух, а, отже, наша задача буде розв’язаною.

Таким чином, окрім рівнянь для зміщень на кшалт , ми повинні мати певні рівняння для y(x, t).

Із властивостей густини ймовірності випливає, що інтеґрал по всьому простору D, що займає система, від yy* дорівнює одиниці (тобто квазічастинку завжди можна виявити у якійсь точці простору):

Це співвідношення називається умовою нормування [1]. У випадку такої дискретної системи, як наш ланцюжок, маємо дискретну хвильову функцію yn(t), де n – порядковий номер молекули. Умова нормування для неї має вигляд:

де N – загальна кількість молекул у ланцюжку [2][3][7].

В лінійних задачах хвильова функція задовільняє принцип суперпозиції, що дозволяє пояснювати інтерференцію і дифракцію квазічастинок. Наразі більше нам нічого про неї знати не треба.

Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів

Квантова механіка оперує деякими величинами Bk+ і Bk-, які називають операторами створення і знищення фонона з хвильовим вектором k. Над фізичним змістом цих операторів ми задумуватись не будемо. Вважатимемо, що це деякі оператори, які відповідають створенню і знищенню деформацій у ланцюжку.

Гамільтоніани, що відповідають енергії акустичних і оптичних фононів, мають вигляд:

Де M – маса кожної молекули, – імпульс, (un – un-1) – відносне зміщення для акустичних фононів, un – сумарне зміщення для оптичних фононів, W0 – частота оптичних коливань. Зміщення і імпульс, спряжений до нього, пов’язані між собою співвідношенням:

Нехай зміщення, імпульс і оператор знищення задаються таким чином:

,

,

де – середнє значення амплітуди нульових коливань з частотою Ωk. Неважко переконатись, що співвідношення задовільняється.

Підставивши ці значення у вираз для гамільтоніану і застосувавши умови ортоґональності[5], отримаємо операторне представлення акустичного фонона:

де оператори Bk+ і Bk- задовільняють співвідношення:

Схожий вираз можна отримати й для оптичних фононів, але ми цього робити не будемо, оскільки їх буде розглянуто більш детально пізніше [7].

Частота коливань акустичних фононів залежить від хвильового вектора таким чином: