Сторінка
2

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках

де m ­– деяке напівціле число[1]. Не порушуючи загальності, обмежимось інтервалом довжини 2p/a, який називають зоною Бриллюена[2]. Зокрема, покладемо m=N/2 і тоді k змінюватиметься у межах -p/a £ k £ p/a. Цей інтервал є основною зоною Бриллюена. Тоді довжина хвилі змінюється в межах 2a £ l < ¥. Таким чином, у дискретному ланцюжку не розглядають хвиль із довжинами, меншими за 2a. І справді, поклавши l=a, маємо , тобто зміщення усіх молекул були б синфазними, тобто ланцюжок рухався б, як одне ціле, а це, в свою чергу, відповідає l=¥ із обраного нами інтервалу.

Цілком очевидно, що хвиля задовільняє рівняння гармонійного осцилятора . Підставивши це значення другої похідної в і врахувавши , здобудемо

Бачимо, що має місце дисперсія, адже фазова швидкість залежить від k. Групова швидкість хвилі дорівнює . При k=p/a (l=2a) v=0, і хвиля енергії не переносить.

За малих значень k (континуальне, або довгохвильове наближення) маємо , і тоді c=v=a(w/M)1/2 = const. У цьому випадку дисперсія зникає, і ланцюжок поводить себе як суцільне середовище. Формулу швидкості для цього випадку можна також здобути із формули для швидкості звуку в стрижні: c = (E/r)1/2, де E – модуль Юнга, який знайдемо із виразу Fn, n-1 = E (un – un-1)/a, де (un – un-1)/a – відносний розтяг ланцюжка. Враховуючи із попередніх міркувань, що Fn, n-1 = w(un – un-1), маємо E = wa. Для одновимірного ланцюжка r = M/a, звідки й отримаємо

У загальному випадку поширення коливань у ланцюжку можна представити суперпозицією розв’язків на кшалт ). Для наших цілей достатньо взяти частинний розв’язок, що є суперпозицією двох протифазних хвиль з однаковою частотою:

Закріпимо крайні молекули в ланцюжку, взявши граничні умови u0(t) = un(t) = 0. Позначивши довжину ланцюжка l = (n-1)a і підставивши граничні умови, здобудемо:

uk1+uk2 = 0,

uk1e-iklt + uk2eklt = 0;

звідси маємо uk1 = -uk2, тоді e-iklt - eklt = 0, тобто sin kl = 0.

Маємо k = pm/l або l = ml/2, тобто на всьому ланцюжку маємо цілу кількість напівхвиль.

З урахуванням усіх викладів отримуємо вираз для зміщення у вигляді стоячої хвилі:

un = 2uksin kxn sin wt, де k = pm/l

Оскільки хвильовий вектор є обмеженим, то максимальне значення m = l/a = n – 1 при k=p/a. Але насправді при m=0 i при m=n-1 всі молекули будуть мати однакове зміщення, а оскільки ми закріпили крайні молекули, то виходить, що um = 0 для всіх m. Тому маємо лише n-2 можливих коливань, якими представлено загальний рух ланцюжка.

Частина ІІ. Нелінійні моди. Поширення колективних збуджень з урахуванням взаємодії електрона з деформацією ланцюжка у довгохвильовому наближенні

Уточнення моделі поширення збуджень у молекулярному ланцюжку. Фонони і квазічастинки

Насправді, розглядаючи поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, ми беремо до уваги не коливання окремих молекул, а увесь ланцюжок в цілому, оскільки в будь-якій його точці відбувається накладання збуджень, що надходять від усіх молекул, внаслідок чого формується певна хвиля, яка може бути періодичною й обходити ланцюжок декілька разів, або неперіодичною і руйнуватися з часом. Надалі нас цікавитимуть саме стійкі хвилі, енергія яких мало змінюється з часом, адже саме такі хвилі утворюються в реальних білкових спіралях (і не тільки) під час перенесення імпульсів чи енергії.

Не будемо глибоко вдаватися в структуру поліпептидного ланцюжка, додамо лиш до вищезапропонованої моделі молекулярного ланцюжка той факт, що амінокислоти з’єднані в єдиний ланцюжок за допомогою певних хімічних зв’язків. Розглянемо ситуацію, коли в ланцюжку є надлишковий електрон, та врахуємо його взаємодію з молекулами ланцюжка.

Згідно зі квантовомеханічними уявленнями кожен електрон з енергією E та імпульсом p має хвильові властивості, при чому частота і хвильовий вектор пов’язані із енергією та імпульсом таким чином:

Хвилю, що переносить в ланцюжку (у загальному випадку, в будь-якому середовищі) енергію і імпульс, задані співвідношеннями , ми будемо надалі називати квазічастинкою [1]. Очевидно, що “зайвий” електрон, посаджений на певну молекулу, буде поширюватися (в якості хвилі) вздовж цього ланцюжка, деформуючи його при цьому. Коливання, що збуджуватимуться в ланцюжку внаслідок його деформації, ми будемо називати фононами. Фонони, які випромінюватимуться внаслідок зміщень молекул з положень рівноваги, ми будемо називати акустичними. У лінійному наближенні акустичні фонони відповідають коливанням, що задані рівнянням і поводять себе так само, як звукова хвиля у суцільному середовищі [2][7].

Якщо розглядати кожну молекулу ланцюжка як єдине ціле, то, власне, цим можна і обмежитись. Але ми прив’язали нашу модель до реального поліпептидного ланцюжка, кожна пептидна група якого містить 4 атоми. Фонони, які випромінюються внаслідок внутрішньомолекулярних коливань атомів, назвемо оптичними.

Отже, при поширенні квазічастинки[3] ланцюжок деформується, і в ньому збуджуються акустичні та оптичні фонони. Звідси загальний гамільтоніан системи складається із енергії квазічастинки, енергії акустичних та оптичних фононів і енергії взаємодії електрона з деформацією ланцюжка (т. зв. електрон-фононна взаємодія) [2][3][7]: